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Égalité p.p

Envoyé par ccapucine 
Égalité p.p
il y a quatre mois
Bonjour
soit $\Omega$ un ouvert de $\R^n$ et soit $f \in L^1_{loc}(\Omega)$. Je souhaite démontrer l'implication suivante.
Si pour tout $\varphi \in \mathcal{D}(\Omega)$ on a $\displaystyle\int_{\Omega} f(x) \varphi(x) dx =0$ alors $f(x)= 0$ presque partout sur $\Omega$.
Ma difficulté est que je ne sais pas comment montrer le caractère "presque partout".

Je vous remercie d'avance pour votre aide.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre mois et a été effectuée par AD.
Re: égalité p.p
il y a quatre mois
avatar
On commence par prendre un compact $K\subset \Omega$ fixé. L'idée est que $D(K)$ est dense dans $L^1(K)$, donc on peut choisir $\varphi_n$ dans $D(K)$ qui converge vers $f$ en norme $L^1(K)$. En utilisant cette suite que peut-on en déduire ?
Re: égalité p.p
il y a quatre mois
En prenant une fonction plateau C infini qui vaut 1 sur un compact K et en exploitant une unité approchée on peut montrer que f est nulle sur ton compact.
Re: égalité p.p
il y a quatre mois
avatar
remarque si $\varphi_n\to {\bf 1}_{[a,b]}$ avec $\varphi_n\le {\bf 1}_{[a,b]}$ passe à la limite avec le TCD

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[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]
Re: égalité p.p
il y a quatre mois
J'ai pensé à ceci: Soit $\varphi \in \mathcal{D}(\R^n)$. Alors il existe un compacte $K \subset \Omega$ telle que $Supp \varphi \subset K$. Ainsi on a: $\displaystyle\int_{\Omega} f(x) \varphi(x) dx = \displaystyle\int_{K} f(x) \varphi(x) dx=0$. Ma question est: Quel argument utiliser pour conclure que $f=0$ presque partout sur $\Omega$? Pourquoi $f$ n'est pas égale à 0 sur TOUT $\Omega$?

Bien cordialement
Re: égalité p.p
il y a quatre mois
Ton égalité ne dit rien si tu l'utilises pas avec la bonne phi. Dis donc ce que tu sais sur les approximations par les fonctions indéfiniment derivables ou sur la convolution et les unités approchées, à défaut.

Quant au fait qu'on n'aura pas de f = 0 partout c'est hélas dans la nature des choses dans les espaces L^p. Tu peux seulement montrer que f vaut 0 pp sur les compacts (donc sur omega).
Re: égalité p.p
il y a quatre mois
@ccapucine : si tu prends pour $f$ l'indicatrice des rationnels, elle vérifie bien tes hypothèses, pourtant elle n'est pas égale à $0$ partout, elle est seulement nulle presque partout. L'intégrale ne peut pas discerner des choses que la mesure sous-jacente ne discerne déjà pas !
Re: Égalité p.p
il y a quatre mois
Merci poirot. J'ai bien compris pourquoi c'est presque partout et pas partout.
Il me reste à comprendre la façon de raisonner. Comment raisonner svp pour montrer l'implication:
$\forall \varphi \in \mathcal{D}(\R): \displaystyle\int_{\Omega} f \varphi =0$ implique $f=0$ p.p?

Vous proposez de considérer un $\varphi$ précis mais pourquoi et dans quel intérêt ? Puisque la relation doit être satisfaite quelque soit $\varphi$ ?



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre mois et a été effectuée par AD.
Re: Égalité p.p
il y a quatre mois
J'ai l'impression que tu dis un truc du type "si fg = 0 pour tout g alors f doit bien valoir 0 vu que ça doit être vrai pour tout g".
Certes, mais même dans ce cas simple il faudrait exploiter une fonction g pour l'implication (ici facile, g=1 donne directement f = 0).

Maintenant, on a une condition bien plus restrictive : phi doit être indéfiniment derivable à support compact ! Une fonction qui vaut identiquement 1 est hors de question (elle n'est pas à support compact). Et en plus de ça la condition n'est pas "fg = 0" mais "intégrale de fg = 0".

Il faut donc plus se creuser la tête et connaître des choses sur l'espace D(R^n).



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre mois et a été effectuée par Riemann_lapins_cretins.
Re: Égalité p.p
il y a quatre mois
Et il faut aussi justifier qu'avoir égalité sur les compacts est suffisant, pour cela il faut une bonne description des ouverts de R^n. Bon, j'imagine qu'elle est dans le cours.
Re: Égalité p.p
il y a quatre mois
D'accord. Il faut donc exhiber une fonction test $\varphi$ non nulle. Dans vos précédents posts vous avez parlé de suites. Est-ce qu'on peut utiliser une fonction plateau au lieu d'une suite ?
Voici ce que je propose. Soit $\varphi \in \mathcal{D}(\Omega)$ telle que $0 \leq \varphi \leq 1$ et $\varphi=1$ sur un compact $K$. On a : $$
\displaystyle\int_{\Omega} f(x) \varphi(x) dx = \displaystyle\int_{\Omega \setminus K} f(x) \varphi(x) dx + \displaystyle\int_K f(x) dx=0
$$ Est-ce qu'il y a possibilité de continuer ce raisonnement ? Merci de m'aider à finaliser ce raisonnement.

Autre question. Si on exhibe une fonction $\varphi$ bien précise pour laquelle on montre l'implication. Cela ne veut par dire que l'implication est vraie quelque soit $\varphi$. Non ? C'est ce point que je n'arrive pas à comprendre

Cordialement



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a quatre mois et a été effectuée par AD.
Re: Égalité p.p
il y a quatre mois
Tu penses vraiment que pour montrer une implication du style $(\forall x, A(x)) \Rightarrow B$ tu as besoin d'utiliser tous les $x$ ? Tu sembles confondre ce que tu veux montrer avec quelque chose de la forme $\forall x, (A(x) \Rightarrow B)$, qui dans ton cas est complètement faux...
Re: Égalité p.p
il y a quatre mois
J'ai compris Poirot! Merci beaucoup!
Ce que je veux montrer, c'est que si $\int_{`\Omega} f(x) \varphi(x) dx =0$ alors $f=0$ p.p et PAS si pour tout $\varphi$ on a ..
Donc il suffit de le montrer pour une fonction test.
Maintenant comment choisir cette fonction test ? Svp. Si on prend une fonction plateau comme je l'ai fait dans mon précédent post, comment on s'en sort ?



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre mois et a été effectuée par AD.
Re: Égalité p.p
il y a quatre mois
Bonjour,


Voilà ce que j'ai compris sur le programme de travail de Corto et/ou RLP

1) si on pouvait se ramener à l'intégrale de $|f|$ ou $f^2$ (la fonction qu'ils envisagent n'est pas précisée) sur $\Omega$ égale à $0$ on pourrait conclure mais les hypothèses sur $f$ et sur $\Omega$ ne permettent pas d'envisager ça
2) pour utiliser quand même l'idée 1, on contourne la difficulté en se ramenant à montrer que l'intégrale sur tout compact $K$ de $|f|$ (je suppose pour la fonction ?)
(correctif avec $K$ de mesure non infinie je suppose : c'est pas précisé). Cette fois-ci les hypothèses permettent d'envisager ça.

Peu importe il faut essayer de prouver quelque chose de raisonnable avec les hypothèses données et qui entraîne le résultat qu'on cherche.

Peut-être que ce n'est pas exactement ce qu'ils proposent. Je ne sais pas.

Il y a donc (si j'ai bien compris not chez RLP) 2 questions à traiter
à) en quoi le fait de prouver 2) entraîne le résultat à montrer
b) comment montrer ce résultat par approximation/densité (ça dépend comme le souligne RLP des résultats que vous connaissez)
Je suppose que l'idée de RLP est d'approcher $1_K |f|/f$. ???
À noter (votre dernier post) que vous n'êtes partie pour approcher mais pour trouver une fonction test : vous aurez du mal car les fonctions tests sont de classe $C^{\infty} $

Je trouve l'exercice intéressant.
De mémoire, j'avais vu un résultat un peu différent utilisant d'autres propriétés des fonctions $L^1$ (je crois que c'était juste ne peut être égale à $+\infty$ sur un ensemble de mesure non nulle, mais je ne suis pas sûr et d'ailleurs je ne vois pas ce qu'on pourrait déduire d'un résultat aussi banal) la distribution Dirac (c'était sur $\R$ et par exemple Dirac en $0$) n'est pas une fonction $L^1$.

Je pense qu'avec ce fil on récolte au passage ce résultat (qui ne sert à rien en pratique).



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a quatre mois et a été effectuée par side.
Re: Égalité p.p
il y a quatre mois
avatar
Bonsoir,
C'est fait dans le livre d'analyse fonctionnelle de Haïm Brézis (version française) à la page 61.
Re: Égalité p.p
il y a quatre mois
avatar
mon indication dans le cas n=1 et celle de remarque [www.les-mathematiques.net]

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[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]
Re: Égalité p.p
il y a quatre mois
Oui side a compris l'idée. Je propose l'unité approchée si l'auteur ne connait pas l'approximation sur l'espace D(R^n). Mais en fait il faut au moins connaitre l'existence des fonctions plateau, et dans tous les cas savoir des choses sur cet espace. Savoir à quoi on a le droit aiderait.

L'exercice est important et permet de conclure sur des résultats comme unicité de la distribution associée à une fonction donnée ou sur des résultats liés aux dérivées faibles.
Re: Égalité p.p
il y a quatre mois
Merci à tous. La preuve n'est pas du tout facile! Je pense alors qu'il me faut consulter le livre de Brezis pour lire la preuve. Puis je reviens pour voir l'importance de ce résultat.

Bien cordialement
Re: Égalité p.p
il y a quatre mois
Mais tu as besoin de ça dans quel contexte ? C'est un résultat utile pour les notions "fruit" de l'analyse fonctionnelle, et par conséquent un cours qui aurait besoin du résultat devrait déjà avoir introduit l'étude des espaces de fonction indéfiniment derivables ou de la convolution.
Re: Égalité p.p
il y a quatre mois
Riemann_lapins_cretins on a étudié l'espace des fonctions tests.
J'ai une question svp. Si on prend $f$ continue sur $\Omega$ telle que pour tout $\varphi \in \mathcal{D}(\Omega), \displaystyle\int_{\Omega} f(x) \varphi(x) dx=0$ alors ça implique que $f=0$ sur tout $\Omega$ ou bien $f=0$ presque partout sur $\Omega$?

Bien cordialement
Re: Égalité p.p
il y a quatre mois
Bah les deux. Que dire d'une fonction continue qui est nulle presque partout ?
Re: Égalité p.p
il y a quatre mois
oui elle est nulle partout.

Cordialement
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