Égalité p.p
Bonjour
soit $\Omega$ un ouvert de $\R^n$ et soit $f \in L^1_{loc}(\Omega)$. Je souhaite démontrer l'implication suivante.
Si pour tout $\varphi \in \mathcal{D}(\Omega)$ on a $\displaystyle\int_{\Omega} f(x) \varphi(x) dx =0$ alors $f(x)= 0$ presque partout sur $\Omega$.
Ma difficulté est que je ne sais pas comment montrer le caractère "presque partout".
Je vous remercie d'avance pour votre aide.
soit $\Omega$ un ouvert de $\R^n$ et soit $f \in L^1_{loc}(\Omega)$. Je souhaite démontrer l'implication suivante.
Si pour tout $\varphi \in \mathcal{D}(\Omega)$ on a $\displaystyle\int_{\Omega} f(x) \varphi(x) dx =0$ alors $f(x)= 0$ presque partout sur $\Omega$.
Ma difficulté est que je ne sais pas comment montrer le caractère "presque partout".
Je vous remercie d'avance pour votre aide.
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Réponses
Bien cordialement
Quant au fait qu'on n'aura pas de f = 0 partout c'est hélas dans la nature des choses dans les espaces L^p. Tu peux seulement montrer que f vaut 0 pp sur les compacts (donc sur omega).
Il me reste à comprendre la façon de raisonner. Comment raisonner svp pour montrer l'implication:
$\forall \varphi \in \mathcal{D}(\R): \displaystyle\int_{\Omega} f \varphi =0$ implique $f=0$ p.p?
Vous proposez de considérer un $\varphi$ précis mais pourquoi et dans quel intérêt ? Puisque la relation doit être satisfaite quelque soit $\varphi$ ?
Certes, mais même dans ce cas simple il faudrait exploiter une fonction g pour l'implication (ici facile, g=1 donne directement f = 0).
Maintenant, on a une condition bien plus restrictive : phi doit être indéfiniment derivable à support compact ! Une fonction qui vaut identiquement 1 est hors de question (elle n'est pas à support compact). Et en plus de ça la condition n'est pas "fg = 0" mais "intégrale de fg = 0".
Il faut donc plus se creuser la tête et connaître des choses sur l'espace D(R^n).
Voici ce que je propose. Soit $\varphi \in \mathcal{D}(\Omega)$ telle que $0 \leq \varphi \leq 1$ et $\varphi=1$ sur un compact $K$. On a : $$
\displaystyle\int_{\Omega} f(x) \varphi(x) dx = \displaystyle\int_{\Omega \setminus K} f(x) \varphi(x) dx + \displaystyle\int_K f(x) dx=0
$$ Est-ce qu'il y a possibilité de continuer ce raisonnement ? Merci de m'aider à finaliser ce raisonnement.
Autre question. Si on exhibe une fonction $\varphi$ bien précise pour laquelle on montre l'implication. Cela ne veut par dire que l'implication est vraie quelque soit $\varphi$. Non ? C'est ce point que je n'arrive pas à comprendre
Cordialement
Ce que je veux montrer, c'est que si $\int_{`\Omega} f(x) \varphi(x) dx =0$ alors $f=0$ p.p et PAS si pour tout $\varphi$ on a ..
Donc il suffit de le montrer pour une fonction test.
Maintenant comment choisir cette fonction test ? Svp. Si on prend une fonction plateau comme je l'ai fait dans mon précédent post, comment on s'en sort ?
C'est fait dans le livre d'analyse fonctionnelle de Haïm Brézis (version française) à la page 61.
L'exercice est important et permet de conclure sur des résultats comme unicité de la distribution associée à une fonction donnée ou sur des résultats liés aux dérivées faibles.
Bien cordialement
J'ai une question svp. Si on prend $f$ continue sur $\Omega$ telle que pour tout $\varphi \in \mathcal{D}(\Omega), \displaystyle\int_{\Omega} f(x) \varphi(x) dx=0$ alors ça implique que $f=0$ sur tout $\Omega$ ou bien $f=0$ presque partout sur $\Omega$?
Bien cordialement
Cordialement