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Suites convergeant vers un rationnel

Envoyé par hass hass 
Suites convergeant vers un rationnel
il y a neuf mois
Bonjours les amis, svp comment démontrer que

$\forall x\in \mathbb{R},\ \exists$ une suite $ X_n$ de non rationnels qui converge vers $ x.$



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a neuf mois et a été effectuée par AD.
Re: Suites convergeant vers un rationneledit:
il y a neuf mois
Tu construis (edit: désolé pour l'erreur de conjugaison, je connais les règles mais n'y fais jamais attention, merci Chaurien) une suite de rationnel qui converge vers $x$ sans l'atteindre, tu profites de la densité des irrationnels dans $\mathbb{R}$ pour construire une suite d'irrationnel dont chaque terme est encadré par $x$ et l'élément de la suite de rationnels correspondant, tu prouves que cette suite est de Cauchy.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a neuf mois et a été effectuée par Titi le curieux.
Re: Suites convergeant vers un rationnel
il y a neuf mois
avatar
Re: Suites convergeant vers un rationnel
il y a neuf mois
avatar
On peut considérer : $\quad X_n=\dfrac{\lfloor nx \rfloor +\sqrt 2}{n}$
Re: Suites convergeant vers un rationnel
il y a neuf mois
merci beaucoup Cidrolin
le probleme estr resolu avec la suite que tu me donne
Re: Suites convergeant vers un rationnel
il y a neuf mois
avatar
Cardinalité.
Re: Suites convergeant vers un rationneledit:
il y a neuf mois
@Sinusix: Euh.... Le fait que l'ensemble des irrationnels soit de même cardinal que $\mathbb{R}$ (et que son complémentaire soit de cardinal strictement inférieur) ne me semble pas être une propriété intéressante pour ce genre d'exercice.
Re: Suites convergeant vers un rationnel
il y a neuf mois
avatar
Re: Suites convergeant vers un rationnel
il y a neuf mois
Affirmation sans preuve ... ça sert à quoi ?? On attend un argument en rapport avec le problème (car il y a des tas d'ensembles de même cardinal ....)
Re: Suites convergeant vers un rationnel
il y a neuf mois
Oui, il est vrai que le complémentaire d'un ensemble dénombrable de $\R$ est dense, car toute boule ouverte rencontre ce complémentaire.
Re: Suites convergeant vers un rationnel
il y a neuf mois
Bonjour
Oui enfin ce n'est pas une preuve car si on considère que c'en est une, alors il n'y a rien à montrer pour la question de départ.

Si question de départ est comprise par construire une suite explicite alors cet argument de cardinalité ne sert à rien.
Si la question de départ est comprise par montrer $\Q$ dense est équivalent à il existe une suite qui...là encore l'argument ne sert à rien car on montre un résultat avec un autre sans preuve essentiellement de même difficulté (comme indique Gérard0 il faut le prouver).
Si la question de départ est de montrer que $\Q$ est dense, il faut revenir à la construction de $\R$ et là encore l'argument ne sert à rien.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a neuf mois et a été effectuée par AD.
Dom
Re: Suites convergeant vers un rationnel
il y a neuf mois
Ne serait-ce pas seulement pour exhiber (construire) un exemple d’une telle suite ?
En gros, l’existence est prouvée mais on veut la voir pour le croire.

Juste une pensée, au cas où...
Re: Suites convergeant vers un rationnel
il y a neuf mois
Heu ... densité et cardinalité, ce n'est pas la même chose !!!

Mettre un mot tout seul pour faire croire qu'on tient un argument évident est de la prestidigitation, pas des maths.
Re: Suites convergeant vers un rationnel
il y a neuf mois
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Marsup a résolu l'exercice en bon français.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a neuf mois et a été effectuée par Sinusix.
Re: Suites convergeant vers un rationnel
il y a neuf mois
Heureusement qu'il y a Marsup. Lui donne une preuve, pas un mot. Finalement, on ne sait même pas si Sinusix savait ce qu'il disait ...et s'il sait démontrer ce qui fait l'argument de Marsup.
Re: Suites convergeant vers un rationnel
il y a neuf mois
avatar
Bravo Cidrolin, idée comme toujours inattendue et originale. Encore faut-il savoir que $\sqrt 2$ est irrationnel. Tout le blabla autour de cette simple affirmation m'a donné le tournis.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a neuf mois et a été effectuée par Chaurien.
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