Suites convergeant vers un rationnel

hass hass
hass hass
dans Analyse
Bonjours les amis, svp comment démontrer que

$\forall x\in \mathbb{R},\ \exists$ une suite $ X_n$ de non rationnels qui converge vers $ x.$

Réponses

  • Titi le curieux
    Titi le curieux
    Tu construis (edit: désolé pour l'erreur de conjugaison, je connais les règles mais n'y fais jamais attention, merci Chaurien) une suite de rationnel qui converge vers $x$ sans l'atteindre, tu profites de la densité des irrationnels dans $\mathbb{R}$ pour construire une suite d'irrationnel dont chaque terme est encadré par $x$ et l'élément de la suite de rationnels correspondant, tu prouves que cette suite est de Cauchy.
  • Chaurien
    Chaurien
    Tu construis...
    https://la-conjugaison.nouvelobs.com/du/verbe/construire.php
  • Cidrolin
    Cidrolin
    On peut considérer : $\quad X_n=\dfrac{\lfloor nx \rfloor +\sqrt 2}{n}$
  • hass hass
    hass hass
    merci beaucoup Cidrolin
    le probleme estr resolu avec la suite que tu me donne
  • Sinusix
    Sinusix
    Cardinalité.
  • Titi le curieux
    Titi le curieux
    @Sinusix: Euh.... Le fait que l'ensemble des irrationnels soit de même cardinal que $\mathbb{R}$ (et que son complémentaire soit de cardinal strictement inférieur) ne me semble pas être une propriété intéressante pour ce genre d'exercice.
  • Sinusix
    Sinusix
    Si.
  • gerard0
    gerard0
    Affirmation sans preuve ... ça sert à quoi ?? On attend un argument en rapport avec le problème (car il y a des tas d'ensembles de même cardinal ....)
  • marsup
    marsup
    Oui, il est vrai que le complémentaire d'un ensemble dénombrable de $\R$ est dense, car toute boule ouverte rencontre ce complémentaire.
  • side
    side
    supp
  • Dom
    Dom
    Ne serait-ce pas seulement pour exhiber (construire) un exemple d’une telle suite ?
    En gros, l’existence est prouvée mais on veut la voir pour le croire.

    Juste une pensée, au cas où...
  • gerard0
    gerard0
    Heu ... densité et cardinalité, ce n'est pas la même chose !!!

    Mettre un mot tout seul pour faire croire qu'on tient un argument évident est de la prestidigitation, pas des maths.
  • Sinusix
    Sinusix
    Marsup a résolu l'exercice en bon français.
  • gerard0
    gerard0
    Heureusement qu'il y a Marsup. Lui donne une preuve, pas un mot. Finalement, on ne sait même pas si Sinusix savait ce qu'il disait ...et s'il sait démontrer ce qui fait l'argument de Marsup.
  • Chaurien
    Chaurien
    Bravo Cidrolin, idée comme toujours inattendue et originale. Encore faut-il savoir que $\sqrt 2$ est irrationnel. Tout le blabla autour de cette simple affirmation m'a donné le tournis.
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