Réciproque à Sobolev
Bonsoir !
Une question d'un vieux partiel d'analyse fonctionnelle me travaille un peu.
Il est question de montrer l'inégalité de Sobolev, ici proposée sous la forme :
si u est C1, 1périodique et de somme nulle sur une période alors :
||u||Loo =< 1/sqrt(12) ||u'||L2
(désolé je suis via mobile pour le Latex)
On demande de montrer que la condition d'intégrale nulle est nécessaire.
Mais je ne vois pas.
Merci de votre aide !
Une question d'un vieux partiel d'analyse fonctionnelle me travaille un peu.
Il est question de montrer l'inégalité de Sobolev, ici proposée sous la forme :
si u est C1, 1périodique et de somme nulle sur une période alors :
||u||Loo =< 1/sqrt(12) ||u'||L2
(désolé je suis via mobile pour le Latex)
On demande de montrer que la condition d'intégrale nulle est nécessaire.
Mais je ne vois pas.
Merci de votre aide !
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Réponses
Merci à AD pour le LaTex !
Cordialement.
A moins qu'on t'ait demandé de prouver une réciproque du théorème, mais alors tu as mal rédigé ton message.
Cordialement.
Pour moi lorsqu'un examen de maths me demande "montrer que la condition est nécessaire" je l'entends au sens "si B alors A".
J'ai recopié la question et l'ai comprise comme ça.
Donc tout viendrait d'un malentendu de ma part. Merci à vous !
L'inégalité entre les sommes obtenues s'obtient via Cauchy-Schwarz.
J'ai vraiment compris qu'il s'agissait de montrer une reciproque au théorème (le mot "nécessaire" possède un vrai sens en maths. Si on entend "nécessaire" comme en français courant on demande plutôt "montrer que l'hypothèse est nécessaire" ou "exhiber un contre-exemple", en général). Et n'ayant testé que sur quelques exemples simples je m'étais convaincu que le truc faux que je croyais devoir montrer était vrai. Mais ton argumentation me va. Je n'ai de toute façon plus envie d'y perdre mo temps.
Ceci est prouvable :
Soit $u\ C^1$ et $1$-périodique; alors pour tout $a$ réel, $u$ et $u_a := t\mapsto u(t)+a$ ont même dérivée; donc avec la conclusion de l'exo mais sans hypothèse sur l'intégrale de $u$ on aurait $ a - \|u\|_{\infty} \leq \|u_a\|_{\infty } \leq \frac{\|u'\|}{\sqrt 12}$ avec $a$ arbitraire.