Espaces $\mathscr{L}^p$ avec $0 < p < 1$
A chaque fois que j'essaie de m'attaquer à ça, je m'embrouille le cerveau, alors je vais vous demander un coup de main.
Soit donc $X$ un espace mesuré et $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. Je note $\mathscr{L}^p(X) = \bigg\{f : X \longrightarrow \mathbb{K} \quad \bigg \vert \quad \displaystyle \int_X \vert f(t) \vert^p dt < \infty \bigg\}$. Je parle bien de cet ensemble, et pas du quotient $L^p$. Comme d'habitude, on pose $\vert \vert f \vert \vert_p = \bigg( \displaystyle \int_X \vert f(t) \vert^p dt \bigg)^{1/p}$. Alors, pour autant que je sache, on a (et je compte m'en servir) que $\mathscr{L}^p(X) = \bigg\{f : X \longrightarrow \mathbb{K} \quad \bigg \vert \quad \vert \vert f \vert \vert_p^p < \infty \bigg\} = \bigg\{f : X \longrightarrow \mathbb{K} \quad \bigg \vert \quad \vert \vert f \vert \vert_p < \infty \bigg\}$. Ça m'étonnerait que ce soit faux pour l'instant, mais j'ai dit aussi que je m'embrouillais le cerveau.
Fixons $0 < p < 1$. La première chose que je veux montrer, c'est que $\mathscr{L}^p(X)$ est bien un $\mathbb{K}$-espace vectoriel.
- Soit $\lambda \in \mathbb{K}$ et $f \in \mathscr{L}^p(X)$. On montre rapidement que $\vert \vert \lambda f \vert \vert_p = \vert \lambda \vert \cdot \vert \vert f \vert \vert_p$, donc $\vert \vert \lambda f \vert \vert_p < \infty$ et donc $(\lambda f) \in \mathscr{L}^p(X)$.
- Maintenant, l'addition. Soient $f,g \in \mathscr{L}^p(X)$. Alors $\displaystyle \int_X \vert f(t) + g(t) \vert^p dt \leqslant \displaystyle \int_X \big(\vert f(t) \vert + \vert g(t) \vert \big)^p dt$ d'après l'inégalité triangulaire pour $\vert \cdot \vert$, la croissance de la fonction $\varphi : x \longmapsto x^p$ (au passage, prolongée par $0$ en $0$) et les propriétés de l'intégrale. Ensuite, on justifie que $\displaystyle \int_X \big(\vert f(t) \vert + \vert g(t) \vert \big)^p dt \leqslant \displaystyle \int_X \vert f(t) \vert^p + \vert g(t) \vert^p dt$ en remarquant que la fonction $\varphi$ est sous-additive (ça se démontre en 2 lignes parce qu'elle est concave et vérifie $\varphi(0) \geqslant 0$). A ce stade, on a démontré que $\vert \vert f + g \vert \vert_p^p \leqslant \vert \vert f \vert \vert_p^p + \vert \vert g \vert \vert_p^p < \infty$. Donc $(f+g) \in \mathscr{L}^p(X)$.
Donc c'est bien un espace vectoriel si je ne me suis trompé nulle part. J'ai bon ?
La suite c'est des histoires de non locale convexité.
Soit donc $X$ un espace mesuré et $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ ou $\mathbb{C}$. Je note $\mathscr{L}^p(X) = \bigg\{f : X \longrightarrow \mathbb{K} \quad \bigg \vert \quad \displaystyle \int_X \vert f(t) \vert^p dt < \infty \bigg\}$. Je parle bien de cet ensemble, et pas du quotient $L^p$. Comme d'habitude, on pose $\vert \vert f \vert \vert_p = \bigg( \displaystyle \int_X \vert f(t) \vert^p dt \bigg)^{1/p}$. Alors, pour autant que je sache, on a (et je compte m'en servir) que $\mathscr{L}^p(X) = \bigg\{f : X \longrightarrow \mathbb{K} \quad \bigg \vert \quad \vert \vert f \vert \vert_p^p < \infty \bigg\} = \bigg\{f : X \longrightarrow \mathbb{K} \quad \bigg \vert \quad \vert \vert f \vert \vert_p < \infty \bigg\}$. Ça m'étonnerait que ce soit faux pour l'instant, mais j'ai dit aussi que je m'embrouillais le cerveau.
Fixons $0 < p < 1$. La première chose que je veux montrer, c'est que $\mathscr{L}^p(X)$ est bien un $\mathbb{K}$-espace vectoriel.
- Soit $\lambda \in \mathbb{K}$ et $f \in \mathscr{L}^p(X)$. On montre rapidement que $\vert \vert \lambda f \vert \vert_p = \vert \lambda \vert \cdot \vert \vert f \vert \vert_p$, donc $\vert \vert \lambda f \vert \vert_p < \infty$ et donc $(\lambda f) \in \mathscr{L}^p(X)$.
- Maintenant, l'addition. Soient $f,g \in \mathscr{L}^p(X)$. Alors $\displaystyle \int_X \vert f(t) + g(t) \vert^p dt \leqslant \displaystyle \int_X \big(\vert f(t) \vert + \vert g(t) \vert \big)^p dt$ d'après l'inégalité triangulaire pour $\vert \cdot \vert$, la croissance de la fonction $\varphi : x \longmapsto x^p$ (au passage, prolongée par $0$ en $0$) et les propriétés de l'intégrale. Ensuite, on justifie que $\displaystyle \int_X \big(\vert f(t) \vert + \vert g(t) \vert \big)^p dt \leqslant \displaystyle \int_X \vert f(t) \vert^p + \vert g(t) \vert^p dt$ en remarquant que la fonction $\varphi$ est sous-additive (ça se démontre en 2 lignes parce qu'elle est concave et vérifie $\varphi(0) \geqslant 0$). A ce stade, on a démontré que $\vert \vert f + g \vert \vert_p^p \leqslant \vert \vert f \vert \vert_p^p + \vert \vert g \vert \vert_p^p < \infty$. Donc $(f+g) \in \mathscr{L}^p(X)$.
Donc c'est bien un espace vectoriel si je ne me suis trompé nulle part. J'ai bon ?
La suite c'est des histoires de non locale convexité.
Réponses
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Jusque-là c'est bon.
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Ce qui est valable pour tout $p \in ]0,\infty[$ c'est que $|a+b|^p \le (2 \max(|a|,|b|))^p \le 2^p \max(|a|^p, |b|^p)\le 2^p (|a|^p + |b|^p)$ donc $\|f+g\|_p^p \le 2^p \|f\|_p^p+2^p\|g\|_p^p$ et $\mathscr{L}^p$ est un espace vectoriel
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Ça ne me paraît pas plus simple de démontrer ça que de faire ce que j'avais fait, mais ça couvre plus de cas... Je vais essayer de le faire, tiens.
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Oui ça couvre plus de cas, sauf que l'inégalité que tu as donnée au début permet de dire que $ \|\cdot\|_p$ vérifie l'inégalité triangulaire lorsque $p \geq 1$. Si $0<p<1$, on n'a qu'une quasi-norme d'après ce qu'a écrit reuns.
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J'allais y venir, justement. Mais je pense que tu as voulu dire semi-norme ? Dans ce que j'ai appris, pour une semi-norme il manque $\|x\|=0 \implies x=0$ et pour une quasi-norme, c'est l'inégalité triangulaire qui manque.
On sait déjà que $\| \cdot \|_p$ n'est pas une norme car $\displaystyle \int_X \vert f(t) \vert^p dt$ peut être nulle sans que $f=0$ (il suffit que $f$ soir nulle presque partout, d'où l'utilité de définir $L^p$).
J'ai déjà mentionné que $\| \lambda f \|_p = \vert \lambda \vert \cdot \| f \|_p$, donc il n'y a que l'inégalité triangulaire à tester. Le problème, c'est que dans ce que reuns a écrit, comme dans ce que moi j'ai écrit, on n'a que des $\| \cdot \|_p^p$ avec un exposant $p$, donc il faut trouver un moyen de l'enlever. A moins, bien entendu, qu'elle soit fausse, et dans ce cas, il me faudrait un contrexemple.
Je ne connais pas le résultat et je ne suis pas très inspiré. J'ai essayé de démontrer l'inégalité triangulaire mais je n'ai pas réussi : la fonction $x \longmapsto x^{1/p}$ n'est pas concave, donc je n'ai pas de critère simple pour démontrer qu'elle serait sous-additive (à supposer qu'elle l'est)... donc pour dégager les exposants $p$ dans mon inégalité $\| f+g \|_p^p \leqslant \| f \|_p^p + \| g \|_p^p$, je suis bloqué. Et c'est tant mieux, puisque je pense qu'elle doit être fausse : sinon j'ai une semi-norme, donc $\mathscr{L}^p$ serait localement convexe, donc je pense que $L^p$ le serait aussi, alors que j'essaie justement de démontrer qu'il ne l'est pas.
Donc je continue à chercher des contrexemples simples... -
Non, je parle bien de quasi-norme (dans l'espace $L^p$, ici c'est plutôt une "quasi-semi-norme").
J'avais mal lu, je pensais que tu avais montré l'inégalité triangulaire.
L'inégalité de reuns montre que ton espace est bien un espace vectoriel pour tout $0<p<\infty$. En revanche, elle ne permet pas d'obtenir l'inégalité triangulaire pour $p\geq1$.
Pour $0<p<1$, l'inégalité triangulaire n'est pas vérifiée, mais on a une "quasi-inégalité triangulaire" de la forme :
$$ \| f+g \|_p \leqslant C (\| f \|_p+ \| g \|_p) $$
avec $C>1$. Cette inégalité est en fait celle donnée par reuns (C=2^p). Si dans la définition d'une norme, on remplace l'inégalité triangulaire par cette quasi-inégalité triangulaire, on obtient une quasi-norme.
Dans ce cas ($0<p<1$), tu as raison, l'espace n'est pas localement convexe.
Lorsque $p\geq1$, l'inégalité triangulaire est vérifiée. Un moyen simple de la démontrer est d'utiliser l'inégalité d'Hölder (qu'il faut donc démontrer avant). Donc contrairement à ce que tu sembles penser, il s'agit bien d'une semi-norme (donc norme dans $L^p$). L'espace est donc bien localement convexe. En fait, il est bien connu que $L^p$ est un espace de Banach (théorème de Riesz-Fischer) c'est-à-dire un espace vectoriel normé complet. -
supp
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Les espaces $\mathscr{L}^p$ et $L^p$ avec $p \geqslant 1$, je les ai vus en Master, ceux-là ça va. Là je veux faire le cas $p \in ]0;1[$ tout seul. Le problème c'est que rien de ce qu'on a écrit pour l'instant prouve que l'inégalité triangulaire est fausse tout le temps quand $p < 1$, et je ne sais pas si on va s'en sortir si on reste sur un espace mesuré $X$ abstrait...
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Il y a des cas d'égalités donc l'inégalité triangulaire ne peut pas être fausse tout le temps. Tu confonds "faux pour tout le monde" et "il existe un contre-exemple".
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Je voulais dire fausse pour tout $p < 1$ et tout espace mesuré $X$
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Pour $p\in ]0,1[$ et $L^p(X)$ de dimension $\ge 2$ on a $$\mu(A)\ne 0,\mu(B)\ne 0, A\cap B=\emptyset,\qquad \|\frac{ 1_A}{\|1_A\|_p} + \frac{ 1_B}{\|1_B\|_p}\|_p = (1+1)^{1/p} = 2^{1/p} > 2$$
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Je cherchais un contrexemple simple avec deux parties disjointes, j'aurais dû le trouver tout seul, celui-là. Merci :-)
En tout cas, ça prouve qu'on n'a pas une semi-norme. -
J'ai une question, maintenant... enfin, plusieurs.
Quand on passe au quotient $L^p$, on va gagner que $\| f \|_p = 0 \implies f=0$. D'après Wikipédia, $L^p$ même avec $p \in ]0;1[$ est métrisable (par une distance invariante par translations, qui plus est) mais pas localement convexe.
J'aimerais justement qualifier un peu la topologie "usuelle" sur $\mathscr{L}^p$ et $L^p$ quand $p \in ]0;1[$.
Ce qui m'intéresse, c'est :
- métrisable ? séparé non métrisable ? non séparé ?
- normé ? localement convexe non normable ? non localement convexe ?
J'ai un peu de mal à trouver la topologie sur $\mathscr{L}^p$. Sur $L^p$, s'il est effectivement métrisable, il suffit de trouver une distance pour avoir tout le reste. Je suppose que $\| \cdot \|_p$ va quand même définir une distance... mais je m'embrouille un peu.
J'aimerais en finir avec $\mathscr{L}^p$ avant de quotienter. Sa topologie, je la trouve quand même avec $\| \cdot \|_p$ même si ce n'est ni une norme, ni une semi-norme ? -
Pour $p \in ]0,1[$,
$\|.\|_p$ ne satisfait pas l'inégalité triangulaire donc $d(f,g)=\|f-g\|_p$ n'est pas une distance. -
Il faut prendre $\|\cdot\|_p^p$, cela donne une distance. Je me doute que le but de ce fil est de faire les choses par soi même mais si jamais tu décides de jeter un oeil dans les livres le bouquin de Komornik Précis d'analyse réelle (tome 2) traite des espaces $L^p$ avec $0\leq p <1$.
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Je ne suis plus inscrit dans une fac, donc pour trouver les bouquins, c'est difficile (enfin, c'est cher). Je connais les livres de Komornik (et je l'ai eu comme prof pour préparer l'agreg), quand j'utilisais ses livres je me limitais strictement au programme de l'agreg.
Je vais essayer de faire les choses moi-même avec vos indications. -
Bon, du coup, s'il faut prendre $\|\cdot \|_p^p$ comme distance... en principe, je l'avais même écrit (j'avais écrit l'inégalité triangulaire avec les exposants $p$, ce qui démontre encore une fois ma capacité extraordinaire à démontrer plein de trucs sans voir le rapport entre eux).
Déjà, ça ne fait pas une distance sur $\mathscr{L}^p$, mais seulement sur $L^p$. Ça ne prouve pas que $\mathscr{L}^p$ n'est pas métrisable, donc pour ça il faudra travailler un peu plus. Mais ça donne une topologie sur $L^p$ que je peux analyser, c'est déjà ça. -
Tu as raison, je vais trop vite. Je raisonne sur $\mathscr{L}^p$ à partir de $L^p$, je ne devrais pas.
Alors posons la question la plus importante : $\mathscr{L}^p$ a-t-il une topologie naturelle/intéressante ? -
Tu peux toujours souscrire à un abonnement annuel à une bu même sans être étudiant. Je crois que tu en as pour une quarantaine d'euros.
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Je verrai, je ne sais pas si l'université de Luxembourg possède les Komornik mais c'est une idée (tu)
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Il y a aussi bookfi, le peer to peer etc (avec besoin éventuel d'un VPN). Evidemment cette solution à le désavantage de ne pas rémunérer V. Komornik...
Pour une topologie "naturelle" sur $\mathscr L ^p$ j'aurais tendance à tout simplement prendre la topologie engendrée par les boules ouvertes pour la pseudo-distance $\|\cdot\|_p^p$. Cela me semble être la topologie la plus "naturelle" et quand on passe au quotient on retrouve exactement la topologie de $L^p$ engendrée par $\| \cdot \|_p$. -
Oui, c'est logique que ce soit celle-là. Je ne sais pas pourquoi je n'ose pas proposer ces choses-là moi-même, comme si j'avais peur qu'il m'arrive un truc si je me trompe.
-
Le but étant d'oublier ce qui est négligeable, cette topologie non séparée est, justement, inintéressante.
-
Mathématiquement inintéressante peut-être, mais intéressante pour moi :-D
Je cherche un exemple d'espace vectoriel topologique pour plein de catégories différentes, je mélange non localement convexe/localement convexe non normable/normable avec non séparé/séparé non métrisable/métrisable/métrisable et complet. -
Maintenant, il y a même des gens qui veulent nous expliquer ce qui est intéressant ou non en maths. Magnifique.
Homo Topi, si je peux t'aider dans ta quête (que je trouve formatrice), les espaces vectoriels topologiques localement convexes sont exactement ceux dont la topologie peut-être engendrée par une famille de semi-normes. Tu peux regarder ce poly. -
Je connais cette caractérisation des EVTLC, merci.
Et je ne sais pas si l'autre partie de ton commentaire était pour Sinusix ou pour moi... -
Bon alors, on met sur $\mathscr{L}^p(X)$ la topologie engendrée par les $B(f,r) := \bigg\{\quad h \quad \bigg\vert \quad \| h-f \|_p^p = \displaystyle \int_X \vert h(t)-f(t) \vert^p dt < r \bigg\}$.
Je me donne une fonction $f \in \mathscr{L}^p(X)$ et un $x \in X$. La fonction $g = f + \chi_{\{x\}}$ ($\chi =$ indicatrice) sera dans chaque $B(f,r)$, donc la topologie en question ne peut pas être séparée. Enfin, quoique... si $X$ est fini, peut-être même s'il est dénombrable, je suppose qu'il faudra trouver autre chose ?
Pour la convexité locale : le fait que $\| \cdot \|_p^p$ ne soit même pas une semi-norme ne garantit pas qu'il n'existe aucune famille de semi-normes qui engendre la topologie. Je pense que j'ai deux choix : supposer qu'il existe une famille de semi-normes et trouver une absurdité, ou revenir à la définition et voir si la fonction $0$ admet un système fondamental de voisinages convexes ou non. Le premier ne me parait pas très réaliste, et je n'ai pas encore d'idées pour le deuxième pour le moment. -
En fait l'espace est séparé si et seulement si le seul ensemble négligeable pour $\mu$ est l'ensemble vide. De bons exemples de cette situation sont les $\ell^p$.
Pour ce qui est de la non convexité locale on peut montrer qu'un ouvert convexe de $L^p([0;1],\lambda)$ est soit l'ensemble vide soit l'espace tout entier. Cela a des conséquences assez amusantes comme le fait que la seule forme linéaire continue soit la forme linéaire nulle. Tu peux essayer de démontrer le résultat que j'ai énoncé (que je tire toujours du Komornik) et voir quelles sont les propriétés nécessaires/suffisantes sur $(X,\mu)$ pour que cette démonstration marche.
Si tu as besoin de plus d'info ou que tu veux que je t'envoie les quelques pages du livre en question je peux le faire, je crois que je les avais déjà postées sur le forum à l'occasion d'un fil similaire. -
Je vais faire comme d'habitude, d'abord essayer tout seul, puis demander de l'aide si je bloque. Merci !
-
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1895946,1897056#msg-1897056
Il s'adressait à Sinusix bien entendu. -
Il y a des disciplines des maths où les topologies non séparées abondent comme la géométrie algébrique.Sinusix a écrit:Le but étant d'oublier ce qui est négligeable, cette topologie non séparée est, justement, inintéressante.Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$. -
Je pense qu'il se référait au fait qu'en pratique, quand on fait de l'analyse, on ne travaille jamais avec les $\mathscr{L}^p$ mais toujours avec les $L^p$, auquel cas sa remarque fait sens.
Cela dit, je me note ce que tu viens de dire dans un coin de l'oreille... -
J'avais mal compris la remarque de Corto, j'essaie de voir comment on montre ça (son critère de séparation).
Supposons que $\mathscr{L}^p(X)$ soit séparé. Soit $N \subseteq X$ un ensemble $\mu$-négligeable. Alors on sait que $\displaystyle \int_X \chi_{N}(t) dt = \int_X \vert \chi_{N}(t) \vert^p dt = 0$, de sorte que $\| \chi_N \|_p = 0$. Donc $\chi_N$ va être inclus dans toute pseudo-boule $B(0,r)$ quel que soit le rayon $r$. Dans un espace séparé, ça implique que $\chi_N=0=\chi_{\varnothing}$, donc $N= \varnothing$.
Réciproquement... je cherche encore. -
Bah réciproquement c'est encore plus simple :-D Si on suppose que la seule partie de $X$ $\mu$-négligeable est $\emptyset$ alors $|| \cdot ||_p$ est une distance, et $\mathcal L^p(X)$ s'identifie à $L^p(X)$.
-
Pour moi, ça n'a pas l'air plus simple.
Si la seule partie négligeable est $\varnothing$, alors on a une distance... je suppose que tu parles de $\| \cdot \|_p^p$ et pas $\| \cdot \|_p$ ?
Je ne comprends pas ce qui te permet d'affirmer ça sans aucune étape intermédiaire. -
Si $\int_X |f| \,d\mu = 0$ alors $f$ est supportée sur un ensemble $\mu$-négligeable (ça se voit facilement en utilisant la définition de l'intégrale). Avec l'hypothèse sur $\mu$, ça implique que $f=0$. Bon en effet ce n'est pas une distance, je voulais dire norme, mais en fait ce n'est pas une norme, puisqu'il n'y a pas l'inégalité triangulaire ! Mais la séparation est facile à obtenir à partir de là : si $f \neq g$ alors $||f-g||_p > 0$ et en prenant $r=C||f-g||_p$ pour une bonne constante $C > 0$, on a bien $B(f,r) \cap B(g,r) = \emptyset$.
-
Alors attends.
Si $\displaystyle \int_X \vert f(t) - g(t) \vert^p dt = 0$, ça veut dire que $f=g$ presque partout, mais si le seul ensemble négligeable est $\varnothing$, l'égalité presque partout c'est juste l'égalité (d'où le fait que $\mathscr{L}^p$ et $L^p$ coïncident). Donc si $f \neq g$, on a effectivement $\| f-g \|_p > 0$. Tu étais allé un peu vite sur ce point pour moi. Le reste, c'est bon ! -
Bon, alors, j'essaie de voir que $\mathscr{L}^p([0;1])$ n'est pas localement convexe.
Soit $C$ un ouvert convexe non vide de $\mathscr{L}^p([0;1])$. Comme $C$ est non vide, il contient une fonction $f$, et comme c'est un ouvert, il contient une $B(f,r)$ pour un certain $r > 0$.
Donc $C$ contient toute fonction $h$ telle que $\displaystyle \int_X \vert f(t) - h(t) \vert^p dt < r$. On sait que ça existe, par exemple $h = f + \chi_{\text{partie négligeable}}$.
Soient donc $g,h \in C$. Comme $C$ est convexe, il contient toute combinaison linéaire convexe de $g$ et $h$. Et après ? -
Je sèche...
-
Homo Topi, qui est le dual de $\mathscr{L}^p$ avec $0 < p < 1$?
Le dual d'un evt localement convexe n'est pas réduit à $\{0\}$ quand la topologie n'est pas grossière (cf Hahn-Banach géométrique).Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$. -
Comme Corto l'a fait avant toi, tu veux m'inciter à montrer que le dual topologique est réduit à $\{0\}$. Je réfléchis encore, je ne vois pas trop comment montrer ça.
Une forme linéaire est continue $\Longleftrightarrow$ son noyau est fermé... -
Ah mais en fait je viens de me rendre compte que c'est avec toi que j'avais déjà abordé le sujet des espaces $L^p$ ! Je te renvois donc au précédent fil : espaces vectoriels topologiques. La démonstration que tu cherches est dans l'image que j'ai postée sur cet ancien fil.
Je ne serais pas surpris qu'on ait un résultat du genre $L^p(X,\mu)'=\{0\} $ ssi $\mathrm{dim}(L^p(X,\mu)) = + \infty$ mais je ne suis pas certain de cette affirmation.
Foys : si tu sais montrer directement que le dual de $L^p$ est restreint à $\{0\}$ ça m'intéresse. -
J'avais oublié qu'il y avait ça dans l'autre fil, bon, ben je vais potasser ça !
-
Lorsque l'espace sur lequel on intègre est un segment (on va prendre $[0,1]$).Corto a écrit:Foys : si tu sais montrer directement que le dual de $L^p$ est restreint à $\{0\}$ ça m'intéresse.
Soit $\Phi$ une forme linéaire continue sur $L^p([0,1])$ $(0<p<1)$. Pour montrer que $\Phi$ est nulle, il suffit de montrer que $\Phi(f)$ est nulle pour toute $f$ bornée (si $f:[0,1] \to \R$ est $L^p$, pour tout $n$ posons $f_n(x):= \max\left ( \min [(f(x),n],-n\right )$; on a $\int |f_n-f|^p \underset {n \to +\infty}{\longrightarrow} 0$ par cv dominée).
Soit donc $A>0$ et $f\in L^p$ telle que $|f|\leq A$ p.s. Puisque $\Phi$ est continue, elle est bornée sur un voisinage de $0$ (de la forme $\{g \mid \int |g|^p < r\}$ avec $r>0$). On pose $M:= \sup \left \{ \left |\Phi(g) \right | \mid \int |g|^p < r\right \}$. Soient $0\leq k <n$ des entiers; pour $x \in [0,1]$ on définit:$$g_{n,k}(x):= \frac{(nr)^{\frac{1}{p}}}{2^{\frac{1}{p}}A} f(x) \mathbf 1_{\left [\frac{k}{n}, \frac{k+1}{n} \right [} (x)$$ de sorte que pour tous $k,n$ on a l'égalité $$\int_0^1 |g_{k,n}|^p \leq \frac{r}{2} \tag{1} $$ et en particulier, $\left |\Phi(g_{n,k}) \right | \leq M$
D'autre part, $$\frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} g_{n,k} = \frac{(nr)^{\frac{1}{p}}}{2^{\frac{1}{p}}nA} f \tag{2} $$ et donc $$\left | \Phi(f) \right | = \left | \frac{2^{\frac{1}{p} }nA}{(nr)^{\frac{1}{p}}n} \sum_{k=0}^{n-1} \Phi(g_{n,k})\right | \leq \frac{2^{\frac{1}{p} }nA}{(nr)^{\frac{1}{p}})} \frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} \left | \Phi(g_{n,k})\right | \leq A \left ( \frac{2}{r} \right )^{\frac{1}{p}} n^{1- \frac{1}{p}} M \tag{3}$$ Comme $0<p<1$, $n^{1-\frac{1}{p}} \underset{n \to +\infty } \longrightarrow 0$ d'où le résultat.Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$. -
Quel plaisir de lire Foys dès le matin!
Sinon je crois qu'on peut raisonner par l'absurde, autrement dit on suppose qu'il existe une fonctionnelle $\Phi$ dans le dual, qui est non nulle, donc $\Phi$ à pour image directe $\mathbb{R}$ donc on peut trouver $f\in L^p([0,1])$ telle que $\vert \Phi(f)\vert \ge 1$. Ensuite l'idée est de construire une suite $(f_n)_{n\ge 0}\in L^p([0,1])$ telle que pour tout $n$ on ait $\vert \Phi(f_n)\vert \ge 1$ et $d(f_n,0)\to_{n\to\infty} 0$ ce qui est contradictoire avec la continuité de $\Phi$.
Mais bon la démonstration estde Foys est déja écrite donc :-D. -
Merci pour cette démonstration Foys.
Quant à moi je reviens sur ce que j'ai dit, si l'on prend $(X,\mu)=(\{0\}\cup [1;2], \delta_0 + \lambda)$ alors $L^p(X,\mu)$ est de dimension infinie mais son dual n'est pas restreint à $0$ puisqu'il contient $\Phi : f \mapsto f(0)$. De la même façon on peut voir que le dual de $\ell^p(\N)$ est de dimension infinie.
Ce qui est tout de même vrai c'est que si $L^p(X,\mu)$ est de dimension finie alors son dual est de même dimension que lui.
En regardant la preuve de Komornik et de Foys il semblerait qu'une condition suffisante pour avoir $L^p(X,\tau,\mu)' = \{0\}$ soit de pouvoir décomposer tout ensemble de mesure finie en une partition de sous ensembles de mesure arbitrairement petite. -
Corto: Je crois que si $(X,\tau,\mu)$ est sans atomes alors $L^p(X,\tau,\mu)' = \{0\}$ (donc ton idée va fonctionner).
-
Ah oui, "sans atome" c'est quand même plus simple à dire que ce que j'ai écrit :-D
-
J'essaierai de voir si je comprends la démonstration de Foys plus tard.
J'ai réussi à comprendre celle du Komornik. Ça me suffit mais j'aime bien voir plusieurs preuves d'un même résultat, on apprend toujours un truc.
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