- $\mathscr{L}^p([0;1])$ avec $p \in ]0;1[$ est un EVT non séparé et non localement convexe.
- $L^p([0;1])$ avec $p \in ]0;1[$ est un EVT non localement convexe, mais métrisable (et même complet, il y a des indices dans l'autre fil que j'avais abandonné). Je m'occuperai de ça.
Du coup, j'aimerais revenir sur la preuve de Foys sur le dual topologique de $L^p$. Pour quelqu'un de mon niveau, je la trouve très difficile à suivre... ce qui est probablement normal, puisqu'elle était destinée à quelqu'un de meilleur que moi dans le domaine en question.
J'aimerais la rendre "compréhensible pour moi".
Donc j'ai un paquet de questions.
1) Dans ce que moi, j'ai réussi à comprendre jusqu'à maintenant (et que j'ai résumé au début de ce message), rien ne m'indique que le dual topologique de $L^p$ va être $\{0\}$. Je ne sais pas si vous avez lu mon fil "Démontrer que..." mais on retombe en plein dans la même problématique. En principe, dans ma tête, le problème le plus naturel est "déterminer le dual topologique de $L^p$" et pas "montrer que le dual topologique de $L^p$ est $\{0\}$", justement parce que je n'ai aucune intuition que c'est effectivement ça le résultat. Je le sais uniquement parce qu'on me l'a dit, mais je préfère résoudre le problème "déterminer le dual topologique de $L^p$" que de faire l'exercice "montrer que le dual topologique de $L^p$ est $\{0\}$". Donc ma première question est : comment pourrait-on commencer à chercher une réponse à la question qui fasse apparaître que la réponse pourrait être $\{0\}$ ?
Il faudrait commencer par "Soit $\varphi$ une forme linéaire continue." et partir de là. En étant VRAIMENT tout nu face au problème, parce que c'est un peu comme ça que je me sens.
2) Une fois qu'on a une raison de vouloir démontrer que le dual est bien $\{0\}$ : le résultat que Foys utilise en premier est un théorème en soi. Le fait qu'une forme linéaire est nulle dès qu'elle l'est sur les fonctions bornées, encore une fois, pour moi c'est une bidouille parachutée. Avant de réussir à le démontrer, il faut avoir l'intuition que c'est ce résultat-là qui va nous aider à avancer. Personnellement, je commencerais par chercher les fonctions les plus simples de mon espace (à commencer par des indicatrices, etc), et je ne sais pas trop pourquoi je m'intéresserais particulièrement aux fonctions bornées...
J'ai encore des questions sur la suite, mais j'aimerais bien déjà des réponses pour ces deux-là. Je commence à en avoir marre de ne faire qu'essayer de déchiffrer une démonstration bien léchée. Ça m'énerve. Je veux voir et comprendre les traces de réflexion qu'on enlève de la rédaction finale "par souci de concision".
le résultat que Foys utilise en premier est un théorème en soi. Le fait qu'une forme linéaire est nulle dès qu'elle l'est sur les fonctions bornées, encore une fois, pour moi c'est une bidouille parachutée.
$L^p$ contient beaucoup de sev denses sympathiques à connaître: fonctions étagées, fonctions continues à support compact (dans $\R^d$), fonctions bornées (en l'espèce où l'espace ambiant est de mesure finie). On accède à la compréhension de $L^p$ par ses parties denses. Il est habituel de faire tourner la densité pour montrer qu'une fonction continue est constante.
Ensuite, les maths sont en quasi totalité constituées de bidouilles parachutées. Le moyen systématique de résoudre un problème de maths quelconque n'existera jamais (Théorème de l'arrêt de Turing).
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
Les sous-espaces denses dans $L^p$, je les connais, mais j'ai encore un peu de mal à m'en servir... et surtout, je les connais dans les Banach $L^p$. Pour moi, a priori, il n'y a aucune raison que les $L^p$ avec $0 < p < 1$ aient les mêmes sous-espaces denses... j'aurais peut-être dû chercher ça par moi-même avant de faire le reste.
Et... je ne suis pas entièrement d'accord avec ce que tu dis. Je pense être capable, moyennant un certain temps de travail dessus, de faire un cours d'algèbre linéaire ou d'analyse réelle niveau L1-L2 dans lequel le cheminement de pensée des démonstrations paraîtrait "logique" à beaucoup d'étudiants (dans le sens, "ah oui ça me paraît logique d'essayer ça pour essayer de résoudre le problème"). Mais quand on avance un peu dans les maths, en tout cas dans les cours que moi j'ai eus à la fac, le cheminement de pensée disparaissait de plus en plus. Je trouve ça dommage... certes, ça rallonge les démonstrations d'expliciter pourquoi on fait ce qu'on fait, mais moi je trouve ça mieux.
Enfin bon. J'ai appris la majorité de ce que sais avec du parachutage, et j'y ai survécu.
Le dual d'un evt localement convexe n'est pas réduit à $\{0\}$ quand la topologie n'est pas grossière (cf Hahn-Banach géométrique).
J'ai vu ce théorème en M1 mais je ne me souviens plus très bien comment on s'en sert, et je ne crois pas en avoir eu une preuve en dehors du cadre "espaces de Banach" (on avait fait un mini-chapitre sur les EVT localement convexes à la fin de l'année, mais je ne sais quasiment rien dessus).
J'ai réussi à garder le réflexe de penser "noyau d'une forme linéaire" quand je vois le mot "hyperplan" (quoique, ici c'est un hyperplan affine...), donc je vois le rapport avec le dual. Par contre, je ne sais pas trop quel sous-espace affine considérer ici.
Partant de l'énoncé, supposons que l'espace considéré est localement convexe. Si la topologie est non grossière, il existe un ouvert convexe non vide $C$ qui n'est pas l'espace entier. Supposons que le sous-espace affine $L$ en question existe. Alors, d'après Hahn-Banach géométrique, il existe un hyperplan affine tel que [...]. Cet hyperplan affine est le noyau d'une forme affine, je suppose que la partie linéaire de cette forme affine (qui est donc une forme linéaire) a pour noyau la direction de l'hyperplan affine, qui est un hyperplan vectoriel. Comme c'est un hyperplan, la forme linéaire en question n'est pas identiquement nulle, d'où le résultat que Foys avait annoncé.
Réponses
- $\mathscr{L}^p([0;1])$ avec $p \in ]0;1[$ est un EVT non séparé et non localement convexe.
- $L^p([0;1])$ avec $p \in ]0;1[$ est un EVT non localement convexe, mais métrisable (et même complet, il y a des indices dans l'autre fil que j'avais abandonné). Je m'occuperai de ça.
Du coup, j'aimerais revenir sur la preuve de Foys sur le dual topologique de $L^p$. Pour quelqu'un de mon niveau, je la trouve très difficile à suivre... ce qui est probablement normal, puisqu'elle était destinée à quelqu'un de meilleur que moi dans le domaine en question.
J'aimerais la rendre "compréhensible pour moi".
Donc j'ai un paquet de questions.
1) Dans ce que moi, j'ai réussi à comprendre jusqu'à maintenant (et que j'ai résumé au début de ce message), rien ne m'indique que le dual topologique de $L^p$ va être $\{0\}$. Je ne sais pas si vous avez lu mon fil "Démontrer que..." mais on retombe en plein dans la même problématique. En principe, dans ma tête, le problème le plus naturel est "déterminer le dual topologique de $L^p$" et pas "montrer que le dual topologique de $L^p$ est $\{0\}$", justement parce que je n'ai aucune intuition que c'est effectivement ça le résultat. Je le sais uniquement parce qu'on me l'a dit, mais je préfère résoudre le problème "déterminer le dual topologique de $L^p$" que de faire l'exercice "montrer que le dual topologique de $L^p$ est $\{0\}$". Donc ma première question est : comment pourrait-on commencer à chercher une réponse à la question qui fasse apparaître que la réponse pourrait être $\{0\}$ ?
Il faudrait commencer par "Soit $\varphi$ une forme linéaire continue." et partir de là. En étant VRAIMENT tout nu face au problème, parce que c'est un peu comme ça que je me sens.
2) Une fois qu'on a une raison de vouloir démontrer que le dual est bien $\{0\}$ : le résultat que Foys utilise en premier est un théorème en soi. Le fait qu'une forme linéaire est nulle dès qu'elle l'est sur les fonctions bornées, encore une fois, pour moi c'est une bidouille parachutée. Avant de réussir à le démontrer, il faut avoir l'intuition que c'est ce résultat-là qui va nous aider à avancer. Personnellement, je commencerais par chercher les fonctions les plus simples de mon espace (à commencer par des indicatrices, etc), et je ne sais pas trop pourquoi je m'intéresserais particulièrement aux fonctions bornées...
J'ai encore des questions sur la suite, mais j'aimerais bien déjà des réponses pour ces deux-là. Je commence à en avoir marre de ne faire qu'essayer de déchiffrer une démonstration bien léchée. Ça m'énerve. Je veux voir et comprendre les traces de réflexion qu'on enlève de la rédaction finale "par souci de concision".
Ensuite, les maths sont en quasi totalité constituées de bidouilles parachutées. Le moyen systématique de résoudre un problème de maths quelconque n'existera jamais (Théorème de l'arrêt de Turing).
Et... je ne suis pas entièrement d'accord avec ce que tu dis. Je pense être capable, moyennant un certain temps de travail dessus, de faire un cours d'algèbre linéaire ou d'analyse réelle niveau L1-L2 dans lequel le cheminement de pensée des démonstrations paraîtrait "logique" à beaucoup d'étudiants (dans le sens, "ah oui ça me paraît logique d'essayer ça pour essayer de résoudre le problème"). Mais quand on avance un peu dans les maths, en tout cas dans les cours que moi j'ai eus à la fac, le cheminement de pensée disparaissait de plus en plus. Je trouve ça dommage... certes, ça rallonge les démonstrations d'expliciter pourquoi on fait ce qu'on fait, mais moi je trouve ça mieux.
Enfin bon. J'ai appris la majorité de ce que sais avec du parachutage, et j'y ai survécu.
J'ai vu ce théorème en M1 mais je ne me souviens plus très bien comment on s'en sert, et je ne crois pas en avoir eu une preuve en dehors du cadre "espaces de Banach" (on avait fait un mini-chapitre sur les EVT localement convexes à la fin de l'année, mais je ne sais quasiment rien dessus).
Je prends l'énoncé ici.
J'ai réussi à garder le réflexe de penser "noyau d'une forme linéaire" quand je vois le mot "hyperplan" (quoique, ici c'est un hyperplan affine...), donc je vois le rapport avec le dual. Par contre, je ne sais pas trop quel sous-espace affine considérer ici.
Partant de l'énoncé, supposons que l'espace considéré est localement convexe. Si la topologie est non grossière, il existe un ouvert convexe non vide $C$ qui n'est pas l'espace entier. Supposons que le sous-espace affine $L$ en question existe. Alors, d'après Hahn-Banach géométrique, il existe un hyperplan affine tel que [...]. Cet hyperplan affine est le noyau d'une forme affine, je suppose que la partie linéaire de cette forme affine (qui est donc une forme linéaire) a pour noyau la direction de l'hyperplan affine, qui est un hyperplan vectoriel. Comme c'est un hyperplan, la forme linéaire en question n'est pas identiquement nulle, d'où le résultat que Foys avait annoncé.
A part ce qui manque, j'ai bon ?