Majoration

OShine
OShine
dans Analyse
Bonjour

Soit $f$ une fonction positive on nulle de classe $C^2$ sur $\R$. On suppose que $f''$ est bornée et l'on note : $M=\sup_{x \in \R} |f''(x)|$
Montrer que $\forall x \in \R \ |f'(x)| \leq \sqrt{2Mf(x)}$

J'ai pensé à appliquer la formule de Taylor Lagrange à $f$ en $0$ à l'ordre $1$ et j'obtiens :
$|f(x)-f(0)-f'(0)x| \leq \dfrac{|x|^2}{2} M$.
Mais je ne vois pas comment continuer...

Réponses

  • Poirot
    Poirot
    C'est un bon début. Mais ce que tu veux c'est $f'(x)$, donc écris plutôt l'inégalité de Taylor-Lagrange pour $f(x+h)$, puis $f(x-h)$ et rassemble les deux estimées que tu obtiens.
  • OShine
    OShine
    Je n'ai pas trop compris qui est $h$.

    Dans mon cours, j'ai uniquement cette formule :

    Soit $a \in I$ et $f$ une fonction de classe $C^{n+1}$ définie sur $I$ à valeurs dans $\K$. On suppose que la fonction $|f^{(n+1)}|$ est majorée par une constante $M_{n+1}$. Alors pour tout $x \in I$ :

    $|f(x)- \displaystyle \sum_{k=0}^{n} \dfrac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k| \leq \dfrac{|x-a|^{n+1}}{(n+1)!}M_{n+1}$
  • Homo Topi
    Homo Topi
    A $x$ fixé, tu peux fixer un $h > 0$ tel que $x+h$ et $x-h$ restent dans $I$, puis tu écris la formule que tu as citée non pas avec $x$, mais avec $x+h$ et $x-h$. Le $h$, c'est une petite perturbation, comme dans les taux d'accroissement etc. Il y a toujours différentes manières d'écrire les choses et l'indication de Poirot porte à croire que pour t'en sortir, tu n'as qu'à changer ta façon d'écrire la formule.
  • Poirot
    Poirot
    Il y a deux manières d'écrire un accroissement : ou bien c'est entre $x$ et $a$, ou bien c'est entre $x+h$ et $x$. Ça revient au même, et il faut savoir jongler entre les deux quand il y en a besoin. Par exemple, tu sais que tu peux définir la dérivée $f'(x)$ ou bien comme la limite de $\frac{f(y)-f(x)}{y-x}$ quand $y$ tend vers $x$, ou bien comme la limite de $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ quand $h$ tend vers $0$. C'est la même chose avec les différentes formules de Taylor, il y a toujours deux manières de les écrire.
  • OShine
    OShine
    Ok merci.

    A l'ordre 1, on obtient : $|f(x+h)- \displaystyle \sum_{k=0}^{1} \dfrac{f^{(k)}(x)}{k!} h^k| \leq \dfrac{h^2}{(2)!}M$

    Soit $|f(x+h)-f(x-h)-hf'(x)| \leq M \dfrac{h^2}{2}$

    Je dois me débrouiller avec cette inégalité ?
  • Poirot
    Poirot
    Euh non ce n'est pas ce que tu obtiens.
  • rakam
    rakam
    Tu passes ton temps à écrire des choses formelles sans réfléchir !
    Au lieu d'écrire une majoration de valeurs absolues (ce qui, te connaissant, n'ira pas bien loin) pourquoi ne pas donner un nom à $f(x+h)-f(x)-hf'(x)$ ? Cela te permettra quand tu auras isolé le $f'(x)$ qui t'intéresse à revenir aux majorations des valeurs absolues.
  • OShine
    OShine
    @Rakam
    Je n'ai pas compris le "donner un nom".

    Je corrige mon erreur d'étourderie, cela donne : $|f(x+h)-f(x)-hf'(x)| \leq M \dfrac{h^2}{2}$

    Pas d'idées pour continuer.
  • noix de totos
    noix de totos
    Mot-clé : inégalités de Landau-Kolmogorov.

    http://mathworld.wolfram.com/Landau-KolmogorovConstants.html
  • noobey
    noobey
    Stoppe les exos 2 ** ! Cet exo est trop difficile pour toi si les étapes ne sont pas renseignées !
  • OShine
    OShine
    Donc je regarde la correction. Rien de difficile ni rien de technique, juste une idée impossible à trouver tout seul. Il fallait penser à encadrer $f(x+h)$ et non pas $f'(x)$, faut être un génie pour y penser tout seul.

    $|f(x+h)-f(x)-hf'(x)| \leq M \dfrac{h^2}{2} \implies 0 \leq f(x+h) \leq f(x)+hf'(x)+M \dfrac{h^2}{2}$

    Le polynôme de degré $2 f(x)+hf'(x)+M \dfrac{h^2}{2}$ est positif donc le delta est négatif.

    Or $\Delta=f'(x)^2-2Mf(x)\leq 0$

    Enfin : $|f'(x)| \leq \sqrt{2Mf(x)}$
  • noobey
    noobey
    Oui et tu n'en es pas un donc stop ce type d'exo.

    Ps : ça marche en encadrant f'(x) en écrivant

    $f(x+h)=f(x)+hf'(x)+h^2/2 f''(c)$
    $f(x-h)=f(x)-hf'(x)+h^2/2 f''(d)$

    Tu fais la différence tu isoles f' tu majores ça te donne une autre fonction de h à étudier.
  • OShine
    OShine
    Bah c'est ce sont des exercices du livre donc j'essaie de tous les faire. Peut importe la difficulté.

    C'est qui $c$ et $d$ ? Quelle théorème utilisez-vous pour exprimer $f(x+h)$ et $f(x-h)$ ?
  • OShine
    OShine
    D'après l'indication de Poirot :

    $|f(x+h)-f(x)-hf'(x)| \leq M \dfrac{h^2}{2}$ (1)

    $|f(x-h)-f(x)+hf'(x)| \leq M \dfrac{h^2}{2}$ (2)

    En faisant (2)-(1) on obtient : $-Mh^2 \leq 2h f'(x) \leq Mh^2$

    Mais je ne vois pas quoi en faire :-X
  • marsup
    marsup
    Ben non, ne cherche pas trop : la bonne réponse est celle de ton bouquin.

    Ce n'est pas évident du tout : c'est ce qui fait l'intérêt, en plus de caractériser les paraboles $x \mapsto \frac{1}{2M} \cdot (x-x_0)^2$.

    Un discriminant à calculer et on est parti : c'est un beau résultat, ceux du genre qu'on peut apprendre par coeur, avec sa démonstration, à part ça...
  • Eric
    Eric
    Je posais ça en colle lorsque Taylor Lagrange était encore au programme en sup.
    Lorsque tu sauras le faire pour $f''$, tu pourras essayer avec $f'''$ ... :-D
    J'avais régulièrement des élèves qui me faisaient le tout durant l'heure de colle.
  • OShine
    OShine
    L'inégalité de Taylor Lagrange est dans mon livre de MPSI pourquoi vous dites que c'est hors programme ?

    Oui exercice astucieux mais pas difficile techniquement.
  • OShine
    OShine
    @Marsup
    Poirot et Noobey m'ont conseillé d'encadrer f' donc il y a peut être une autre méthode ?
  • marsup
    marsup
    À mon humble avis, la démonstration que tu donnes est imbattable !

    Comment faire apparaître autrement du $\big[f'(x)\big]^2$ ou bien du $\sqrt{f(x)}$ ?
  • noobey
    noobey
    En fait au lieu d'utiliser f''(c) écris la même formule avec le reste intégral. Ensuite jtai je t'ai dit d'isoler f'(x). Essaie de le faire.
  • OShine
    OShine
    J'applique la formule de Taylor Laplace à l'ordre 1 :

    $f(x+h)=f(x)+hf'(x)+\displaystyle \int_{x}^{x+h} (x+h-t)f''(t) dt$ (1)
    $f(x-h)=f(x)-hf'(x)+\displaystyle \int_{x}^{x-h} (x-h-t)f''(t) dt$ (2)

    Mais le $f$ va disparaître si je fais (1)-(2) :-S
  • noobey
    noobey
    C'est vrai, je confonds avec un exercice similaire où tu veux montrer que

    $|f'(x)| \leq \sqrt{2M_0M_2},$ avec $M_0 = \sup(|f|)$ et $M_2 = \sup(|f"|)$.

    Après c'est la mème idée que ton exo de départ tu peux essayer d'y arriver en faisant ma méthode ça t'entraînera.
  • Poirot
    Poirot
    J'orientais plutôt OShine vers une solution au problème décrit par noobey.
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