Majoration
Bonjour
Soit $f$ une fonction positive on nulle de classe $C^2$ sur $\R$. On suppose que $f''$ est bornée et l'on note : $M=\sup_{x \in \R} |f''(x)|$
Montrer que $\forall x \in \R \ |f'(x)| \leq \sqrt{2Mf(x)}$
J'ai pensé à appliquer la formule de Taylor Lagrange à $f$ en $0$ à l'ordre $1$ et j'obtiens :
$|f(x)-f(0)-f'(0)x| \leq \dfrac{|x|^2}{2} M$.
Mais je ne vois pas comment continuer...
Soit $f$ une fonction positive on nulle de classe $C^2$ sur $\R$. On suppose que $f''$ est bornée et l'on note : $M=\sup_{x \in \R} |f''(x)|$
Montrer que $\forall x \in \R \ |f'(x)| \leq \sqrt{2Mf(x)}$
J'ai pensé à appliquer la formule de Taylor Lagrange à $f$ en $0$ à l'ordre $1$ et j'obtiens :
$|f(x)-f(0)-f'(0)x| \leq \dfrac{|x|^2}{2} M$.
Mais je ne vois pas comment continuer...
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Dans mon cours, j'ai uniquement cette formule :
Soit $a \in I$ et $f$ une fonction de classe $C^{n+1}$ définie sur $I$ à valeurs dans $\K$. On suppose que la fonction $|f^{(n+1)}|$ est majorée par une constante $M_{n+1}$. Alors pour tout $x \in I$ :
$|f(x)- \displaystyle \sum_{k=0}^{n} \dfrac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k| \leq \dfrac{|x-a|^{n+1}}{(n+1)!}M_{n+1}$
A l'ordre 1, on obtient : $|f(x+h)- \displaystyle \sum_{k=0}^{1} \dfrac{f^{(k)}(x)}{k!} h^k| \leq \dfrac{h^2}{(2)!}M$
Soit $|f(x+h)-f(x-h)-hf'(x)| \leq M \dfrac{h^2}{2}$
Je dois me débrouiller avec cette inégalité ?
Au lieu d'écrire une majoration de valeurs absolues (ce qui, te connaissant, n'ira pas bien loin) pourquoi ne pas donner un nom à $f(x+h)-f(x)-hf'(x)$ ? Cela te permettra quand tu auras isolé le $f'(x)$ qui t'intéresse à revenir aux majorations des valeurs absolues.
Je n'ai pas compris le "donner un nom".
Je corrige mon erreur d'étourderie, cela donne : $|f(x+h)-f(x)-hf'(x)| \leq M \dfrac{h^2}{2}$
Pas d'idées pour continuer.
http://mathworld.wolfram.com/Landau-KolmogorovConstants.html
$|f(x+h)-f(x)-hf'(x)| \leq M \dfrac{h^2}{2} \implies 0 \leq f(x+h) \leq f(x)+hf'(x)+M \dfrac{h^2}{2}$
Le polynôme de degré $2 f(x)+hf'(x)+M \dfrac{h^2}{2}$ est positif donc le delta est négatif.
Or $\Delta=f'(x)^2-2Mf(x)\leq 0$
Enfin : $|f'(x)| \leq \sqrt{2Mf(x)}$
Ps : ça marche en encadrant f'(x) en écrivant
$f(x+h)=f(x)+hf'(x)+h^2/2 f''(c)$
$f(x-h)=f(x)-hf'(x)+h^2/2 f''(d)$
Tu fais la différence tu isoles f' tu majores ça te donne une autre fonction de h à étudier.
C'est qui $c$ et $d$ ? Quelle théorème utilisez-vous pour exprimer $f(x+h)$ et $f(x-h)$ ?
$|f(x+h)-f(x)-hf'(x)| \leq M \dfrac{h^2}{2}$ (1)
$|f(x-h)-f(x)+hf'(x)| \leq M \dfrac{h^2}{2}$ (2)
En faisant (2)-(1) on obtient : $-Mh^2 \leq 2h f'(x) \leq Mh^2$
Mais je ne vois pas quoi en faire :-X
Ce n'est pas évident du tout : c'est ce qui fait l'intérêt, en plus de caractériser les paraboles $x \mapsto \frac{1}{2M} \cdot (x-x_0)^2$.
Un discriminant à calculer et on est parti : c'est un beau résultat, ceux du genre qu'on peut apprendre par coeur, avec sa démonstration, à part ça...
Lorsque tu sauras le faire pour $f''$, tu pourras essayer avec $f'''$ ... :-D
J'avais régulièrement des élèves qui me faisaient le tout durant l'heure de colle.
Oui exercice astucieux mais pas difficile techniquement.
Poirot et Noobey m'ont conseillé d'encadrer f' donc il y a peut être une autre méthode ?
Comment faire apparaître autrement du $\big[f'(x)\big]^2$ ou bien du $\sqrt{f(x)}$ ?
$f(x+h)=f(x)+hf'(x)+\displaystyle \int_{x}^{x+h} (x+h-t)f''(t) dt$ (1)
$f(x-h)=f(x)-hf'(x)+\displaystyle \int_{x}^{x-h} (x-h-t)f''(t) dt$ (2)
Mais le $f$ va disparaître si je fais (1)-(2) :-S
$|f'(x)| \leq \sqrt{2M_0M_2},$ avec $M_0 = \sup(|f|)$ et $M_2 = \sup(|f"|)$.
Après c'est la mème idée que ton exo de départ tu peux essayer d'y arriver en faisant ma méthode ça t'entraînera.