Pensez à lire la Charte avant de poster !

$\newcommand{\K}{\mathbf K}$


Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques supérieures
 Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques universitaires - Forum - Cours à télécharger

A lire
Deug/Prépa
Licence
Agrégation
A télécharger
Télécharger
274 personne(s) sur le site en ce moment
E. Cartan
A lire
Articles
Math/Infos
Récréation
A télécharger
Télécharger
Théorème de Cantor-Bernstein
Théo. Sylow
Théo. Ascoli
Théo. Baire
Loi forte grd nbre
Nains magiques
 
 
 
 
 

Majoration

Envoyé par OShine 
Majoration
il y a quatre mois
Bonjour

Soit $f$ une fonction positive on nulle de classe $C^2$ sur $\R$. On suppose que $f''$ est bornée et l'on note : $M=\sup_{x \in \R} |f''(x)|$
Montrer que $\forall x \in \R \ |f'(x)| \leq \sqrt{2Mf(x)}$


J'ai pensé à appliquer la formule de Taylor Lagrange à $f$ en $0$ à l'ordre $1$ et j'obtiens :
$|f(x)-f(0)-f'(0)x| \leq \dfrac{|x|^2}{2} M$.
Mais je ne vois pas comment continuer...



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre mois et a été effectuée par AD.
Re: Majoration
il y a quatre mois
C'est un bon début. Mais ce que tu veux c'est $f'(x)$, donc écris plutôt l'inégalité de Taylor-Lagrange pour $f(x+h)$, puis $f(x-h)$ et rassemble les deux estimées que tu obtiens.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre mois et a été effectuée par AD.
Re: Majoration
il y a quatre mois
Je n'ai pas trop compris qui est $h$.

Dans mon cours, j'ai uniquement cette formule :

Soit $a \in I$ et $f$ une fonction de classe $C^{n+1}$ définie sur $I$ à valeurs dans $\K$. On suppose que la fonction $|f^{(n+1)}|$ est majorée par une constante $M_{n+1}$. Alors pour tout $x \in I$ :

$|f(x)- \displaystyle \sum_{k=0}^{n} \dfrac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k| \leq \dfrac{|x-a|^{n+1}}{(n+1)!}M_{n+1}$
Re: Majoration
il y a quatre mois
A $x$ fixé, tu peux fixer un $h > 0$ tel que $x+h$ et $x-h$ restent dans $I$, puis tu écris la formule que tu as citée non pas avec $x$, mais avec $x+h$ et $x-h$. Le $h$, c'est une petite perturbation, comme dans les taux d'accroissement etc. Il y a toujours différentes manières d'écrire les choses et l'indication de Poirot porte à croire que pour t'en sortir, tu n'as qu'à changer ta façon d'écrire la formule.

"En mathématiques, on ne comprend pas les choses, on s'y habitue." - von Neumann
Re: Majoration
il y a quatre mois
Il y a deux manières d'écrire un accroissement : ou bien c'est entre $x$ et $a$, ou bien c'est entre $x+h$ et $x$. Ça revient au même, et il faut savoir jongler entre les deux quand il y en a besoin. Par exemple, tu sais que tu peux définir la dérivée $f'(x)$ ou bien comme la limite de $\frac{f(y)-f(x)}{y-x}$ quand $y$ tend vers $x$, ou bien comme la limite de $\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$ quand $h$ tend vers $0$. C'est la même chose avec les différentes formules de Taylor, il y a toujours deux manières de les écrire.
Re: Majoration
il y a quatre mois
Ok merci.

A l'ordre 1, on obtient : $|f(x+h)- \displaystyle \sum_{k=0}^{1} \dfrac{f^{(k)}(x)}{k!} h^k| \leq \dfrac{h^2}{(2)!}M$

Soit $|f(x+h)-f(x-h)-hf'(x)| \leq M \dfrac{h^2}{2}$

Je dois me débrouiller avec cette inégalité ?



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a quatre mois et a été effectuée par OShine.
Re: Majoration
il y a quatre mois
Euh non ce n'est pas ce que tu obtiens.
Re: Majoration
il y a quatre mois
Tu passes ton temps à écrire des choses formelles sans réfléchir !
Au lieu d'écrire une majoration de valeurs absolues (ce qui, te connaissant, n'ira pas bien loin) pourquoi ne pas donner un nom à $f(x+h)-f(x)-hf'(x)$ ? Cela te permettra quand tu auras isolé le $f'(x)$ qui t'intéresse à revenir aux majorations des valeurs absolues.
Re: Majoration
il y a quatre mois
@Rakam
Je n'ai pas compris le "donner un nom".

Je corrige mon erreur d'étourderie, cela donne : $|f(x+h)-f(x)-hf'(x)| \leq M \dfrac{h^2}{2}$

Pas d'idées pour continuer.
Re: Majoration
il y a quatre mois
Mot-clé : inégalités de Landau-Kolmogorov.

[mathworld.wolfram.com]
Re: Majoration
il y a quatre mois
Stoppe les exos 2 ** ! Cet exo est trop difficile pour toi si les étapes ne sont pas renseignées !



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre mois et a été effectuée par AD.
Re: Majoration
il y a quatre mois
Donc je regarde la correction. Rien de difficile ni rien de technique, juste une idée impossible à trouver tout seul. Il fallait penser à encadrer $f(x+h)$ et non pas $f'(x)$, faut être un génie pour y penser tout seul.

$|f(x+h)-f(x)-hf'(x)| \leq M \dfrac{h^2}{2} \implies 0 \leq f(x+h) \leq f(x)+hf'(x)+M \dfrac{h^2}{2}$

Le polynôme de degré $2 f(x)+hf'(x)+M \dfrac{h^2}{2}$ est positif donc le delta est négatif.

Or $\Delta=f'(x)^2-2Mf(x)\leq 0$

Enfin : $|f'(x)| \leq \sqrt{2Mf(x)}$
Re: Majoration
il y a quatre mois
Oui et tu n'en es pas un donc stop ce type d'exo.

Ps : ça marche en encadrant f'(x) en écrivant

$f(x+h)=f(x)+hf'(x)+h^2/2 f''(c)$
$f(x-h)=f(x)-hf'(x)+h^2/2 f''(d)$

Tu fais la différence tu isoles f' tu majores ça te donne une autre fonction de h à étudier.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre mois et a été effectuée par AD.
Re: Majoration
il y a quatre mois
Bah c'est ce sont des exercices du livre donc j'essaie de tous les faire. Peut importe la difficulté.

C'est qui $c$ et $d$ ? Quelle théorème utilisez-vous pour exprimer $f(x+h)$ et $f(x-h)$ ?



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre mois et a été effectuée par AD.
Re: Majoration
il y a quatre mois
D'après l'indication de Poirot :

$|f(x+h)-f(x)-hf'(x)| \leq M \dfrac{h^2}{2}$ (1)

$|f(x-h)-f(x)+hf'(x)| \leq M \dfrac{h^2}{2}$ (2)

En faisant (2)-(1) on obtient : $-Mh^2 \leq 2h f'(x) \leq Mh^2$

Mais je ne vois pas quoi en faire angry smiley
Re: Majoration
il y a quatre mois
Ben non, ne cherche pas trop : la bonne réponse est celle de ton bouquin.

Ce n'est pas évident du tout : c'est ce qui fait l'intérêt, en plus de caractériser les paraboles $x \mapsto \frac{1}{2M} \cdot (x-x_0)^2$.

Un discriminant à calculer et on est parti : c'est un beau résultat, ceux du genre qu'on peut apprendre par coeur, avec sa démonstration, à part ça...
Re: Majoration
il y a quatre mois
Je posais ça en colle lorsque Taylor Lagrange était encore au programme en sup.
Lorsque tu sauras le faire pour $f''$, tu pourras essayer avec $f'''$ ... grinning smiley
J'avais régulièrement des élèves qui me faisaient le tout durant l'heure de colle.
Re: Majoration
il y a quatre mois
L'inégalité de Taylor Lagrange est dans mon livre de MPSI pourquoi vous dites que c'est hors programme ?

Oui exercice astucieux mais pas difficile techniquement.
Re: Majoration
il y a quatre mois
@Marsup
Poirot et Noobey m'ont conseillé d'encadrer f' donc il y a peut être une autre méthode ?
Re: Majoration
il y a quatre mois
À mon humble avis, la démonstration que tu donnes est imbattable !

Comment faire apparaître autrement du $\big[f'(x)\big]^2$ ou bien du $\sqrt{f(x)}$ ?



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre mois et a été effectuée par marsup.
Re: Majoration
il y a quatre mois
En fait au lieu d'utiliser f''(c) écris la même formule avec le reste intégral. Ensuite jtai je t'ai dit d'isoler f'(x). Essaie de le faire.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre mois et a été effectuée par AD.
Re: Majoration
il y a quatre mois
J'applique la formule de Taylor Laplace à l'ordre 1 :

$f(x+h)=f(x)+hf'(x)+\displaystyle \int_{x}^{x+h} (x+h-t)f''(t) dt$ (1)
$f(x-h)=f(x)-hf'(x)+\displaystyle \int_{x}^{x-h} (x-h-t)f''(t) dt$ (2)

Mais le $f$ va disparaître si je fais (1)-(2) confused smiley
Re: Majoration
il y a quatre mois
C'est vrai, je confonds avec un exercice similaire où tu veux montrer que

$|f'(x)| \leq \sqrt{2M_0M_2},$ avec $M_0 = \sup(|f|)$ et $M_2 = \sup(|f"|)$.

Après c'est la mème idée que ton exo de départ tu peux essayer d'y arriver en faisant ma méthode ça t'entraînera.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre mois et a été effectuée par AD.
Re: Majoration
il y a quatre mois
J'orientais plutôt OShine vers une solution au problème décrit par noobey.
Seuls les utilisateurs enregistrés peuvent poster des messages dans ce forum.

Cliquer ici pour vous connecter

Liste des forums - Statistiques du forum

Total
Discussions: 140 806, Messages: 1 377 697, Utilisateurs: 25 676.
Notre dernier utilisateur inscrit Ruriii.


Ce forum
Discussions: 31 490, Messages: 291 476.

 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
Adresse Mail:

Inscription
Désinscription

Actuellement 16057 abonnés
Qu'est-ce que c'est ?
Taper le mot à rechercher

Mode d'emploi
En vrac

Faites connaître Les-Mathematiques.net à un ami
Curiosités
Participer
Latex et autres....
Collaborateurs
Forum

Nous contacter

Le vote Linux

WWW IMS
Cut the knot
Mac Tutor History...
Number, constant,...
Plouffe's inverter
The Prime page