Pensez à lire la Charte avant de poster !

$\newcommand{\K}{\mathbf K}$


Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques supérieures
 Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques universitaires - Forum - Cours à télécharger

A lire
Deug/Prépa
Licence
Agrégation
A télécharger
Télécharger
145 personne(s) sur le site en ce moment
E. Cartan
A lire
Articles
Math/Infos
Récréation
A télécharger
Télécharger
Théorème de Cantor-Bernstein
Théo. Sylow
Théo. Ascoli
Théo. Baire
Loi forte grd nbre
Nains magiques
 
 
 
 
 

Intégrale réfrigérante

Envoyé par P. 
P.
Intégrale réfrigérante
il y a trois mois
Si $p>0$ montrer que $$\int_0^{\infty}\frac{x^{x+p-1}e^{-x}}{\Gamma(x+p+1)}dx=\frac{1}{p}.$$ La seule démonstration que je connaisse est probabiliste et ne tient pas du tout dans la marge.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par AD.
Re: Intégrale réfrigérante
il y a trois mois
avatar
Bonjour,
Je n'ai jamais vu une intégrale avec la fonction 1/Gamma dans l’intégrande. Peux-ton savoir cette preuve probabiliste stp P

--------------------------------------------------------------------------
[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]
P.
Re: Intégrale réfrigérante
il y a trois mois
Je peux te référer à un article : The Annals of Statistics Vol 18 March 1990, Natural exponential families with cubic variance functions pages 1-37. C'est la proposition 5.5 page 27. C'est basé sur la formule de Zolotarev 5.17 du même article, profond résultat sur les processus de Lévy. On sent le besoin d'une démonstration directe ...



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par AD.
Re: Intégrale réfrigérante
il y a trois mois
avatar
Merci, ton intégrale m'a réfrigéré grinning smiley

--------------------------------------------------------------------------
[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]
Re: Intégrale réfrigérante
il y a trois mois
avatar
Une idée qui me traverse la tête (j'ignore si elle permet d'aboutir). Je propose de multiplier l'intégrande par $\Gamma(x)\Gamma(p+1)$ (et donc de diviser aussi par la même quantité) on fait apparaître une fonction bêta (qui a une représentation intégrale) mais on a toujours un facteur $\dfrac{1}{\Gamma(x)}$ qui fait suer.

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)
L2M
Re: Intégrale réfrigérante
il y a trois mois
Une très belle et intéressante intégrale.
Re: Intégrale réfrigérante
il y a trois mois
avatar
Peut-être en écrivant $$\frac{1}{\Gamma{x+p+1}} = \lim_{n\to+\infty} \frac{(x+p+1)(x+p+2)\cdots(x+p+n+1}{n! n^{x+p+1}}$$ et en permutant la limite et l'intégrale.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par AD.
Re: Intégrale réfrigérante
il y a trois mois
avatar
Une de ressemblante , calculée par une série [math.stackexchange.com]

--------------------------------------------------------------------------
[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]
Re: Intégrale réfrigérante
il y a trois mois
avatar
Une autre idée qui m'est passée par la tête.

On utilise $\displaystyle \int_0^\infty (...)\,dx=\,dx=\sum_{n=0}^\infty \int_n^{n+1} (...)\,dx$

Après dans chaque intégrale on fait le changement de variable $y=x-n$.
Et on se retrouve avec une intégrale sur l'intervalle $[0;1]$.
Et en utilisant les propriétés de $\Gamma$ on peut factoriser dans l'intégrande $\dfrac{1}{\Gamma(x+p)}$.
L'intégrande étant le produit de ce facteur fois une exponentielle qui dépend de $n$ uniquement.

Et donc, aux erreurs près, on obtient cette forme pour l'intégrale:

\begin{align}\int_0^1 \frac{\text{e}^{-x}}{\Gamma(x+p)}\left(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(x+n)^{x+n+p-1}\text{e}^{-n}}{\prod_{k=0}^n (x+p+k)}\right)\,dx\end{align}

PS:
La série est surement égale à $\dfrac{1}{p}\Gamma(x+p)$

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par Fin de partie.
Re: Intégrale réfrigérante
il y a trois mois
avatar
Je n'ai pas été très soigneux dans les inversions de limites.
Je pense que la formule obtenue plus haut n'est pas correcte.
La série $\displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{n^n\text{e}^{-n}}{(n+1)!}$ ne semble pas converger.
(obtenue en faisant $p=1,x=0$)

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par Fin de partie.
Re: Intégrale réfrigérante
il y a trois mois
avatar
\begin{align} \frac{n^n\text{e}^{-n}}{(n+1)!}=\frac{n^n\text{e}^{-n}}{(n+1)n!}\end{align}

Un petit coup de Stirling et on a que le terme général de la série est équivalent à:

\begin{align} \frac{n^n\text{e}^{-n}}{(n+1)!}&=\frac{n^n\text{e}^{-n}}{(n+1)\sqrt{2\pi} n^{\frac{1}{2}+n}\text{e}^{-n}}\\
&=\frac{1}{(n+1)n^{\frac{1}{2}}}\\
&=O\left(\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}\right)\\
\end{align}

Donc la série précédente est bien convergente grinning smiley

Cela ne signifie pas que l'interversion des limites est correcte.

PS:
Merci à Math Coss

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)
Re: Intégrale réfrigérante
il y a trois mois
avatar
De nouvelles pièces à verser au dossier:

[math.stackexchange.com]
et:
[fr.wikipedia.org]

PS:
Ce lien est peut-être intéressant:
[math.stackexchange.com]

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois mois et a été effectuée par Fin de partie.
Re: Intégrale réfrigérante
il y a trois mois
Je pense qu'il faut appliquer Stirling à
$$\int_0^\infty \frac{x^{x+p-1}e^{-x}}{\Gamma(x+p+1)}dx=\lim_{r \to \infty} r^p\int_0^\infty x^{p-1}\frac{(rx)^{r x} e^{-r x}}{\Gamma(rx+p+1)}dx$$
L2M
Re: Intégrale réfrigérante
il y a trois mois
La formule des compléments peut servir à mettre $\Gamma(x+p+1)$ au numérateur.
Re: Intégrale réfrigérante
il y a trois mois
avatar
L2M:
La formule des compléments s'applique si l'argument $y$ de la fonction $\Gamma$ est tel que $0<y<1$.

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)
Re: Intégrale réfrigérante
il y a trois mois
avatar
On m' a donné une indication d'utiliser
$$\frac1{\Gamma(z)}=\int_{-\infty}^{\infty}(c+it)^{-z}e^{c+it}dt$$ $\forall z\in \C$ et $\forall c>0$

--------------------------------------------------------------------------
[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]
Re: Intégrale réfrigérante
il y a trois mois
avatar
$\displaystyle \int_0^\infty \frac{\sin(bt)}{t^u}\,dt=\frac{b^{u-1}\pi}{2\Gamma(u)\sin\left(\frac{u\pi}{2}\right)}$

Avec $b>0$, et, $0<u<2$

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a trois mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Fin de partie.
Re: Intégrale réfrigérante
il y a deux mois
avatar
Bonjour,

@P. Une intégrale difficile. thumbs down

J’ai lu des trucs faux dans les messages précédents : des facteurs manquent dans les formules ou les conditions de validité sont erronées.

Voici ma méthode :
Pour tout $p>0$ on pose $\displaystyle F(p)=\int_0^{+\infty} dx {x^{x+p-1} e^{-x}\over \Gamma(x+p+1)}.$

Pour tout $p>0$, l’existence est obtenue par continuité de l’intégrande sur $x>0$ et l’équivalent $\displaystyle \sim {x^{p-1} \over \Gamma(p+1)},(x\to 0^+)$ qui est intégrable en $0.$

Pour tout $p>0$, on développe en $0$ la fonction (par Taylor) $\displaystyle x\mapsto {\Gamma(p+1) x^x\over \Gamma(x+p+1)}=1+x(\ln(x)-\psi^{(0)}(p+1))+O(x^2).$

Pour tout $u>0$, on change les variables $\displaystyle x\leadsto t$ avec $x=ut$ : $\displaystyle F(p)=\int_0^{+\infty} u dt {(u t)^{p-1} e^{-u t}\over \Gamma(p+1)} {\Gamma(p+1) (u t)^{u t}\over \Gamma(u t+p+1)}.$
Cette relation est vraie pour tout $u>0$ et on passe à la limite en $0.$
On a $\displaystyle F(p)=\lim_{u \to 0^+} F(p)$ $\\ \displaystyle F(p)\sim \int_0^{A} u dt {(u t)^{p-1} e^{-u t}\over \Gamma(p+1)} \times 1,(u\to 0^+)$ $\\ \displaystyle F(p)\sim \int_0^{+\infty} dx {x^{p-1} e^{-x}\over \Gamma(p+1)}={\Gamma(p)\over \Gamma(p+1)}={1\over p},(u\to 0^+),$

Erreur = A n’est pas $+\infty$...

où on a utilisé le théorème du cours :
Si deux fonctions de signe constant sont équivalentes en $a$, alors leurs primitives qui s’annulent en $a$ sont équivalentes en $a.$

Ici, les fonctions restent positives et sont équivalentes en $0$ et leurs primitives s’annulent en $0$ puisque la borne inférieure d’intégration est $0.$

Voilà !



Edité 4 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par YvesM.
P.
Re: Intégrale réfrigérante
il y a deux mois
Pas bien compris, cher Yves M. Si $f(x)=x^{p-1}e^{-x}/\Gamma(p+1)$ (dont l'integrale sur $(0,\infty)$ est $1/p$) et si $g(x)=\Gamma(p+1)x^x/\Gamma(x+p-1)$ tu observes que l'integrale refrigerante est pour tout $u>0$


$$\int_0^{\infty}g(x)f(x)dx=\int_{0}^{\infty}g(ut)f(ut)udt$$ et puisque $g(ut)\to_{u\to 0}1$ tu dis que l'integrale est equivalente a $1/p$ quand $u$ tend vers zero et donc egale a $1/p$ puisqu'en fait independante de $u.$ Tu t'appuies sur 'un theoreme du cours'. Ce qui me laisse perplexe est l'application de cette methode au cas ou par exemple $g(x)=e^{-ax}...$



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par P..
Re: Intégrale réfrigérante
il y a deux mois
avatar
Bonjour,

Oops ! La borne supérieure d’intégration n’est pas $+\infty$... donc je ne peux pas conclure. Je vais modifier le message.
Re: Intégrale réfrigérante
il y a deux mois
avatar
Bonjour,

@P. Voici une résolution possible mais elle contient une récurrence ardue.

On écrit $\displaystyle F(p)=\int_0^{+\infty} dx {x^{p-1} e^{-x}\over \Gamma(p+1)}{x^x\Gamma(p+1)\over\Gamma(x+p+1)}.$

On développe en $0$ :
$\displaystyle {x^x \Gamma(p+1)\over \Gamma(x+p+1)}=1+ x(\ln(x)-\psi^{(0)}(p+1))+\\ \displaystyle +{x^2\over 2}(-2 \psi^{(0)}(p+1)\ln(x)+\psi^{(0)}(p+1)^2-\psi^{(1)}(p+1)+\ln(x)^2)+o(x^2).$

On calcule alors pour chaque ordre :
-ordre $0$ : $\displaystyle {\Gamma(p)\over \Gamma(p+1)}={1\over p}$
-ordre $1$ : $\displaystyle \psi^{(0)}(p+1) \Gamma(p+1)-\Gamma(p+1)\psi^{(0)}(p+1)=0$
-ordre $2$ : $\displaystyle {\Gamma(p+2)\over 2}(-2 \psi^{(0)}(p+1) \psi^{(0)}(p+2)+\psi^{(0)}(p+1)^2-\psi^{(1)}(p+1)+\\ \displaystyle +\psi^{(0)}(p+2)^2+\psi^{(1)}(p+2))=0.$

Pour écrire une démonstration il faut faire une récurrence et montrer que les intégrales sont toutes nulles aux ordres plus grands que $0$. C’est déjà assez long pour montrer le résultat à l’ordre $2$ - je conseille volontiers un logiciel. Faire la récurrence n’est pas facile car il faudrait trouver la forme du développement en $0$ et là encore je conseille un logiciel.

Donc long et pénible mais c’est bel et bien une démonstration du résultat.
P.
Re: Intégrale réfrigérante
il y a deux mois
Merci Yves. Pas bien compris la phrase 'on développe en zéro' Pas en série entière apparemment.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: Intégrale réfrigérante
il y a deux mois
avatar
C'est la fonction $F(p)$, de variable $p$, qui est développée?

Ou l'intégrande de l'intégrale? (en $x$? en $p$?)

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)
Re: Intégrale réfrigérante
il y a deux mois
avatar
Bonjour,

Il s’agit d’un développement en $x=0$ en série de Puiseux.

Le mieux c’est de taper dans Wolfram en ligne : series expansion of $x^x\Gamma(p+1)/\Gamma(x+p+1)$.
L2M
Re: Intégrale réfrigérante
il y a deux mois
Est-ce que cette intégrale peut être valable pour $p$ complexe avec $\Re p>0$ ?

@YvesM : La série entière (développement en $x=0$ en série de Puiseux) doit avoir un rayon de convergence infini.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par L2M.
Re: Intégrale réfrigérante
il y a deux mois
avatar
@L2M
wolfram donne pour p=1+i la valeur 0.5-0.5 i au lieu de égale à 1/(1+i)Merci YvesM

--------------------------------------------------------------------------
[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par gebrane.
Re: Intégrale réfrigérante
il y a deux mois
avatar
Bonjour,

@gebrane : a-t-on $1/(1+i)=1/2-1/2 i$ ?
Re: Intégrale réfrigérante
il y a deux mois
avatar
Bonjour YvesM
desolé, tu as raison

--------------------------------------------------------------------------
[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par gebrane.
Seuls les utilisateurs enregistrés peuvent poster des messages dans ce forum.

Cliquer ici pour vous connecter

Liste des forums - Statistiques du forum

Total
Discussions: 139 816, Messages: 1 363 984, Utilisateurs: 25 309.
Notre dernier utilisateur inscrit Braczinsky.


Ce forum
Discussions: 31 212, Messages: 288 893.

 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
Adresse Mail:

Inscription
Désinscription

Actuellement 16057 abonnés
Qu'est-ce que c'est ?
Taper le mot à rechercher

Mode d'emploi
En vrac

Faites connaître Les-Mathematiques.net à un ami
Curiosités
Participer
Latex et autres....
Collaborateurs
Forum

Nous contacter

Le vote Linux

WWW IMS
Cut the knot
Mac Tutor History...
Number, constant,...
Plouffe's inverter
The Prime page