Convergence et normes
Bonjour,
N'étant pas d'un cursus mathématiques purs, je ne vais pas m'aventurer à poser ma question avec tout le formalisme mathématique car ça sera sans doute faux. Bref, ma question porte sur l'interprétation des convergences en norme d'une suite de fonctions.
Prenons une suite de fonctions $(f_{n})$ définie sur intervalle $I$, qui convergence simplement vers $f$. Cela est la convergence la plus basique. Si maintenant la suite de fonctions convergence uniformément vers $f$, cela revient à dire, si je ne dis pas de bêtises, que tous points $x$ de $I$, $(f_n(x))$ converge à la même vitesse vers $f(x)$. C'est donc plus fort que la convergence simple. Admettons que maintenant $(f_n)$ converge en norme $L^{p}$ vers $f$. Que peut-on dire sur la suite de fonctions $f$ ? Est-ce plus fort que la convergence simple ? Plus généralement, pourquoi a-t-on cherché autre chose que la convergence simple ?
Merci beaucoup !
N'étant pas d'un cursus mathématiques purs, je ne vais pas m'aventurer à poser ma question avec tout le formalisme mathématique car ça sera sans doute faux. Bref, ma question porte sur l'interprétation des convergences en norme d'une suite de fonctions.
Prenons une suite de fonctions $(f_{n})$ définie sur intervalle $I$, qui convergence simplement vers $f$. Cela est la convergence la plus basique. Si maintenant la suite de fonctions convergence uniformément vers $f$, cela revient à dire, si je ne dis pas de bêtises, que tous points $x$ de $I$, $(f_n(x))$ converge à la même vitesse vers $f(x)$. C'est donc plus fort que la convergence simple. Admettons que maintenant $(f_n)$ converge en norme $L^{p}$ vers $f$. Que peut-on dire sur la suite de fonctions $f$ ? Est-ce plus fort que la convergence simple ? Plus généralement, pourquoi a-t-on cherché autre chose que la convergence simple ?
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Réponses
La convergence simple ne conserve pas la continuité, la convergence uniforme la conserve
Par exemple la suite de fonctions $x \mapsto x^n$, définies sur $[0;1]$ converge vers la fonction constante égale à 0 selon la norme $L^p$ et pas selon la convergence simple.
A+
F.
Donc si je comprends bien, on ne peut pas vraiment dire que la convergence $L^{p}$ est plus forte que la convergence simple; comme on pourrait dire pour les convergences simple et uniforme.
Historiquement, comment l'idée de la convergence $L^{p}$ à germé au regard des convergences simple et uniforme ?
Admettons que tu veuilles calculer l'intégrale d'une fonction $f$, admettons que tu saches que tu ne sais pas calculer directement l'intégrale, mais qu'il existe une suite de fonctions $(f_n)_n$ qui "converge vers $f$". Peut-être qu'on peut approximer l'intégrale avec $f$ par les intégrales avec les $f_n$ et en tirer quelque chose... ben ça dépend du mode de convergence. Avec la convergence simple, il faut des hypothèses en plus (théorèmes de convergence monotone/dominée), avec la convergence uniforme, c'est plus simple.
Et pour d'autres types de problèmes que celui-là, il y a d'autres notions de convergence utiles.
Illustrons les différentes convergence grâce aux courbes des $f_n$ et de $f$ :
* Convergence simple : les courbes des $f_n$ se rapprochent "en gros" de celle de $f$, mais peuvent s'approcher très lentement à certains endroits et bien plus vite juste à côté ; voire même certaines courbes des $f_n$ peuvent être toujours éloignées à certains endroits de celle de $f$, mais la zone où ça se passe tend vers l'ensemble vide (*) ; en fait, la seule chose sûre est que pour tout $x$ fixé, $f_n(x)$ tend vers $f(x)$.
* Convergence uniforme : les courbes se rapprochent globalement, ensemble, et la distance la plus grande entre deux points de même abscisse l'un sur la courbe de $f$, l'autre sur la courbe de $f_n$ tend vers $0$. Donc pour $n$ suffisamment grand, la courbe de $f_n$ et toutes les suivantes seront "dans l'épaisseur du trait" de celle de $f$.
* Convergence L1 (je prends le cas le plus simple, mais les autres peuvent s'y ramener avec les précautions d'usage) : dans ce cas, ce ne sont plus les courbes de $f$ et des $f_n$ qui comptent, mais celles des différences absolues $f-f_n$. Donc changement de point de vue ; mais on pouvait déjà le prendre dans les deux autres cas. Autre changement de point de vue : c'est l'intégrale, donc l'aire sous la courbe de $f-f_n$ qui va tendre vers 0. Mais une intégrale peut tendre vers 0 sans que la fonction le fasse (pense à une bosse de largeur de plus en plus faible). Il s'agit donc en fait d'une idée différente : l'intégrale étant une sorte de mesure d'un effet de la fonction, on ne s'intéresse plus vraiment aux valeurs de $f$, mais à ce qu'elle produit dans certaines situations.
Cordialement.
(*) $f=0 \text{ sur } [0;1],$ et $ f_n(x)=nx \text{ sur } [0;\frac 1 n],\ f_n(x)=2-nx \text{ sur } [\frac 1 n, \frac 2 n],\ f_n(x)=0 \text{ sur } [\frac 2 n ,1]$
Expression osée.
Dans un texte explicatif non mathématisé, pas de problème pour les lecteurs sérieux.
:)o
Moi, je suis sérieux, j'essaie d'expliquer, je ne passe pas mon temps à critiquer les formulations des autres.
Il me semble me rappeler que cela peut être une façon d'introduire les distributions: si on note $E$ l'ensemble des fonctions $C^\infty$ à support compact, on dit qu'une suite $(f_n)$ converge vers $f$, si pour tout $g\in E$, $\int f_ng \to \int fg$. On définit ainsi une distance sur $E$ et le complété de $E$ pour cette distance est l'ensemble des distributions (formes linéaires sur $E$).
Bonne journée
F.
PS: D'autres intervenants seront sans doute plus à même de t'expliquer cela de façon bien plus claire ;-)
je me rends compte que mon expression non mathématique "la zone où ça se passe tend vers l'ensemble vide" est mathématiquement très correcte dans l'exemple que je donne. En effet, la fonction $f_n$ n'est non nulle que sur $]0; \frac 2 n[$ et on a bien $\lim\limits_{n \to +\infty}\ ]0; \frac 2 n[ = \emptyset$. La limite d'ensemble est prise au sens habituel en théorie de la mesure.
Donc les deux remarques de Sinusix sont au mieux à mettre au crédit d'une vraie ignorance. La deuxième est d'ailleurs du même niveau que "comment la limite d'une suite de nombres strictement positif pourrait-être nulle ?"
(:D
X:-(
Sinusix, réfléchis un peu avant d'attaquer bêtement Gérard qui est quand même plus compétent que toi, et de loin:
$\lim\limits_{n \to +\infty} \left]0; \dfrac {1}{n} + \dfrac {(-1)^n} {n^2}\right[ = \emptyset$
Cordialement,
Rescassol