Convergence simple des fonctions convexes

Ahpa Tsum · November 2019

Bonsoir tout le monde,
soit $(f_n)$ une suite des fonctions convexes qui converge simplement sur $I=[a,b]$ avec $a<b$, vers une fonction $f$ continue. Montrer que la suite $(f_n)$ converge uniformément sur $I$ vers $f$.
Quelques indices pour bien commencer cet exercice et merci.

reuns · November 2019

Prends un 3ème point : $a<c<b$, remplace $f_n$ par $g_n(z) = f_n(z)+u_n+v_nz+w_nz^2$ tel que $g_n = f$ en $a,b,c$, la convergence simple nous dit que $u_n,v_n,w_n\to 0$,

$g_n\left(t x+(1-t)y\right) \leq t\,g_n(x)+(1-t)\,g_n(y)$ donne une borne supérieure pour $g_n\left(t x+(1-t)y\right)$ et une borne inférieure pour $g_n(x)$,

en choisissant bien $x,y,t$ quel encadrement ça donne pour $g_n(z)$ ?