Équa diff comportement asymptotique

supp

Bonsoir gb
Il y a un probleme
De $y'y'' \; = \; \dfrac{y'}{y}$ on deduit $\frac 12 (y')^2=\ln|y|+K$ et les conditions initiales impliquent $K=0$ donc
$\frac 12 (y')^2=\ln(|y|),$ d'où $\ln(|y|)\geq 0,$ d'où $|y|\geq 1,$ d'où $y\geq 1$ ou $y\leq -1$, Non ?

la question est deduire le signe de y mais la, soit y est plus grand que 1 ou petit que -1

side
Bonjour,

Je ne comprends pas ton raisonnement. si j'ai compris: tu donnes comme conclusion si y existe alors y est plus grand que 1. donc y est positive, donc tu as répondu à la question. Mais je te vois dire vers la fin Ceci dit ce n'est pas la question posée.
C'est quoi la question posée pour toi

side

je ne saisis pas ton raisonnement (je vais regarder tranquillement dans la nuit).
On a $\frac 12 (y')^2=\ln(|y|)$ qui donne $y'=\pm \sqrt{2\ln |y|}$ donc $y$ peut être décroissante.
Ou bien si tu veux soit $y$ une solution de $y'=- \sqrt{2\ln |y|}$ avec $y(0)=1$ et $y'(0)=1$ alors $y$ est une solution de notre probleme initial et je vois mal pourquoi $y$ est plus grand que 1 (si $y$ existe ).

edit D'aprés wolfram y existe https://www.wolframalpha.com/input/?i=y''=1/y

side, avec ce petit raisonnement je suis convaincu ;-)

etanche tu n'as pas compris donc :-D

Bonjour,

On démontre que le signe est positif à l’infini. En fait, le signe est positif sur tous les réels.

On sait que, $\displaystyle \forall x \in \R, y(x)y”(x)=1$ avec $y(0)=1$ et $y’(0)=0.$
On en déduit que la fonction $y$ ne s’annule pas. On a donc $y’ y”=y’/y$ que l’on intègre en $y’^2(x)=\ln(y^2(x))\geq 0$ et donc $|y’(x)|\geq1.$
Cette équation différentielle est à variables séparables et, après intégration, on a nécessairement une fonction $y$ continue et une fonction $y’$ continue.
Comme la fonction vaut $1$ en $0$ et ne peut pas traverser ni sauter par dessus la bande $|y|<1$ alors elle reste positive pour tout réel.

Une intégration donne la forme explicite $y(x)=\exp(-erf^{-1} (-i \sqrt{{2\over \pi}} x)^2).$