Bonsoir, je recherche une fonction réelle $f$ telle que $\lim_{x\to a} f(x)$ existe, $f$ est bien défini en $a$ mais $\lim_{x\to a} f(x) \neq f(a).$ Est-ce que c'est possible ?
Bah oui, par exemple la fonction qui vaut $1$ en $0$ et $0$ partout ailleurs, avec $a=0$. Au passage tu voulais écrire $\lim_{x \to a}$ au lieu de $\lim_{x \in a}$ j'imagine.
Poirot
Peux-tu rappeler ta definition d'une limite car avec ma definition Si f est définie en a et admet une limite en a, alors $f(a)=\lim_{x\to a}f(x)$
Avec la définition de la limite, par défaut non pointée, une fonction définie en $a$ ne peut avoir que $f(a) $ comme limite, notion alors équivalente à la continuité. En effet on peut prendre $x=a$ dans tous les prémisses des implications et donc on aura $|f(a)-\ell|<\varepsilon$ pour tout $\varepsilon$, ce qui force la valeur de la limite. La notion de limite est surtout intéressante au sens strict.
Moi, je n’utilise qu’une définition de limite en un point. Et ce n’est pas celle avec la limite épointée.
Ainsi, si $f(a)$ existe (l’image de $a$ par $f$ est bien définie), si la limite de $f$ en $a$ existe, alors cette limite est $f(a)$.
Math89 pas de souci.
Ne t’inquiète pas si des échanges fusent.
Ta question est très pertinente.
Peux-tu nous écrire la définition de « $f$ a une limite en $a$ » en expression quantifiée ?
Dans ton cours ? Ton poly ? Ton bouquin ?
Dis-nous et tu auras une réponse très claire.
Ok. C’est aussi ma définition.
Comme $a$ est dans $D_f$, tu peux choisir $x=a$ dans cette assertion (quel que soit $\varepsilon$ et quel que soit $\delta$).
On se rend compte alors que $\ell$ ne peut être que $f(a)$ (puisque c’est vrai pour tout $\varepsilon$).
Une manière de le dire vite « unicité de la limite ».
Essaye de proposer une démonstration propre.
Là je n’ai rien démontré dans mon texte.
Il y a des définitions différentes pour la limite (ici on a affaire à une limite épointée).
Notations: si $a$ est un nombre réel, on note $\mathcal V(a)$ l'ensemble de toutes les parties de la forme $]a-r,a+r[$ où $r$ parcourt l'ensemble des nombres réels strictement positifs.
On note $\mathcal V(+\infty)$ (resp. $\mathcal V(-\infty)$ ) l'ensemble de toutes les parties de $\R$ de la forme $]A,+\infty[$ (resp. $]-\infty, A[$) où $A$ parcourt l'ensemble de tous les réels.
Soient $E$ un ensemble, $f:E\to \R$ une fonction, (on les prend à valeurs réelles mais la généralisation aux espaces métriques voire topologiques est immédiate) $\mathcal F$ un ensemble de parties(*) de $E$. Soit $y\in \R\cup \{-\infty \} \cup \{+ \infty\}$. On dit que $f$ converge vers $y$ suivant $\mathcal F$ (ou encore que $y$ est une limite de $f$ suivant $\mathcal F$) si, pour tout $V\in \mathcal V(y)$, il existe $W\in \mathcal F$ tel que pour tout $t\in W$, $f(t) \in V$.
Notations et abréviations successives: soit $g:E \to \R$ une fonction et $z,\ell \in \R\cup \{-\infty \} \cup \{+ \infty\}$
"$g \underset {\mathcal F} {\longrightarrow} z$" est l'abréviation de "$g$ converge vers $z$ suivant $\mathcal F$".
Lorsqu'il y a unicité des limites éventuelles (cela est le cas dans toutes les situations qu'on envsage plus bas), on désigne par "$\lim \limits_{\mathcal F} g$ " la limite de $g$ en suivant $\mathcal F$.
Si $\Xi$ est une expression(**) (où figure la lettre $x$ ou non), "$\Xi \underset {x,\mathcal F} {\longrightarrow} \ell$" abrège $(x \mapsto \Xi) \underset {\mathcal F} {\longrightarrow} \ell$
et "$\lim \limits_{x,\mathcal F} \Xi$ " abrège $\lim \limits_{\mathcal F} (x \mapsto \Xi)$
Parmi les $E$ et $\mathcal F$ les plus utilisés (jusqu'à bac+2 on va dire) on trouve:
1°) $E:=\N$ et $\mathcal F$ est l'ensemble des parties de la forme $A_m := \{p\in \N \mid p \geq m\}$ où $m$ parcourt $\N$. Les fonctions de $\N$ dans $\R$ sont des suites numériques.
2°) $E:= \R$ et $\mathcal F$ est l'ensemble des parties de $\R$ de la forme $]B,+\infty[$ où $B$ parcourt $\R$.
Dans 1° comme dans 2°, si $t$ est une lettre, $\Psi$ une expression et $a \in \R\cup \{-\infty \} \cup \{+ \infty\}$, on emploie la notation $\lim \limits_{t \to +\infty} \Psi$ pour abréger $\lim \limits_{t, \mathcal F} \Psi$.
3°) $E$ est une partie de $\R$ $a$ un réel appartenant à $E$ et $\mathcal F$ est l'ensemble des parties de $\R$ de la forme $]a-u,a+u[ \cap E$ où $u$ parcourt l'ensemble de tous les réels strictement positifs.On abrège $\lim \limits_{t, \mathcal F} \Psi$ par "$\lim \limits_{t \to a} \Psi$" et on parle de "limite de $\Psi$ quand $t$ tend vers $a$".
4°) $E$ est une partie de $\R$, $a \in \R$, et $\mathcal F$ est l'ensemble des parties de $\R$ de la forme $]a-u,a [ \cup ]a,a+u[ \cap E$ où $u$ parcourt l'ensemble de tous les réels strictement positifs. Lorsqu'aucun élément de $\mathcal F$ n'est vide On abrège $\lim \limits_{t, \mathcal F} \Psi$ par "$\lim \limits_{t \to a; t \neq a} \Psi$" et on parle de "limite de $\Psi$ quand $t$ tend vers $a$ en étant différent de $a$".
3°) et 4°) sont différents et ce que cherche math89 n'existe que pour 4°).
[size=x-small](*) NB: très souvent $\mathcal F$ vérifie les conditions supplémentaires qui en font ce qu'on appelle une "base de filtre" (cependant il n'est pas nécessaire de les mentionner dans la définition ci-dessus):
BF1°) $\mathcal F$ est non vide
BF2°) pour tout $U \in \mathcal F$, $U$ est non vide
BF3°) pour tous $R,S\in \mathcal F$, il existe $T\in \mathcal F$ tel que $T\subseteq R \cap S$.
Ces conditions entraînent l'unicité de la limite éventuelle pour une fonction à valeur dans $\R\cup \{-\infty \} \cup \{+ \infty\}$
(**) Soit $\alpha$ une lettre de l'alphabet, $E,F$ des lettres désignant des ensembles et $\Phi$ une expression mathématique (agencement de lettres et de symboles) désignant un élément de $F$ et dans laquelle figure éventuellement $\alpha$. Alors l'expression $(\alpha \in E) \mapsto (\Phi \in F)$ (où encore simplement $\alpha \mapsto \Phi$ lorsque le contexte permet de savoir qu'on a affaire à $E$ et $F$) désigne une fonction de $E$ dans $F$, celle qui à un élément de $E$ désigné ici par $\mathbf t$, fait correspondre $\Phi[\alpha := \mathbf t]$ où $\Phi [\alpha := \mathbf t]$ désigne l'expression mathématique obtenue en remplaçant les occurrences de $\alpha$ par $\mathbf t$ (modulo certaines petites précautions pour ne pas dénaturer le sens des formules quand $\alpha$ apparaît comme auxiliaire dans des sous-formules- cf "alpha équivalence" sur le web).
Par exemple $x \mapsto \frac{1}{3+x^2}$ fait correspondre $\frac{1}{3+5^2}$ à $5$. c'est la même fonction que $y \mapsto \frac{1}{3+y^2}$.[/size]
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
Lorsque les limites sont prises en ce sens (celui dudit message) et que $a$ est dans l'ensemble de définition de la fonction, il est impossible d'avoir la limite en $a$ de $f$ différnte de $f(a)$.
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
J'ai donné la définition d'une limite en général et la limite a droite et à gauche et on dit que si la limite a droite est égale à celle de gauche alors la limite existe
d'après ce que j'ai compris dans la question a est une limite pointé celle qu'on définit ave les voisinages et la définition que j'ai donné c'est la limite usuelle c'est ça
Attention pour limite à gauche et à droite, car là encore ça peut se faire « épointé » ou pas.
Ça peut se comprendre comme « limite à gauche stricte » ou « limite à droite stricte » (c’est moi qui donne ces qualificatifs « strict », je ne sais pas si c’est officialisé quelque part).
Ce texte a été écrit par un pur clown qui ne connait rien aux mathématiques hors cadre scolaire (sait-il ce qu'est un germe de fonction en un point?) et qui pense que les mathématiques (i.e. la discipline qui est de facto enseignée seulement à partir de l'enseignement supérieur) doivent se plier à un agenda pédagogiste (donc apparemment le mec ne sait pas que les maths existent dans un autre but que celui d'accaparer et sélectionner des lycéens/étudiants).
Dommage que je n'aie plus mes bouquins (99.999% sûr qu'il ment au sujet de Rudin) mais si on impose son caprice alors une grande partie de l'échafaudage de théorèmes d'analyse tombe à l'eau ou doit être explicitement amendé.
gebrane, vu que tu as le niveau:
Limites = limites au sens des filtres/bases de filtres. Après on voit les cas particuliers.
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
Il y a quand même une petite vérité dont ce qui l'a dit, les enseignants (une majorité) aux Lycées ne connaissent pas l'existence de deux notions de limites ( j'en ai fait la preuve)
Apparemment la définition de limite pointé est enseigné uniquement en France ? (cette question a été débattue dans le fil de Héhé http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?18,1424120,1426100 )
Avec les filtres je suis d'accord, mais faut-il attendre un cours de topologie pour calculer une limite ?
Pour ma part, j'ai très mal vécu au lycée l'utilisation de la limite épointée, au programme à mon époque. Très intuitivement, la limite est "ce qui se passe au bout", et quand f est définie en a et au voisinage, si la limite épointée n'est pas f(a), "ça se passe mal" !! Tout est devenu simple lorsqu'on a fait des limites au sens de la topologie, et je n'ai ensuite enseigné que cette sorte de limite en lycée et supérieur.
L'auteur de ton texte a peut-être appris comme notion de base la limite épointée, sans voir le problème (si on n'a pas d'intuition ...) et a du mal à saisir l'autre notion. Au point de qualifier de "connerie" ce qui est une notion mathématique simple. A partir de là, pas de discussion possible.
Il me semble que les définitions des limites pointées ou épointées étaient déjà un débat dans les années 80 (en terminale, me semblait-il...)
Et à vrai dire, tout le monde s'en fout...
C'est à peu près aussi stérile que d'accepter ou non l'axiome du choix...
Ceci ne remet pas en cause les théorèmes de maths établis ^^
@gebrane: le théorème de composition des limites tel qu'énoncé dans mon message marche avec la définition franco-française "pointée" du méchant Bourbaki.
Maintenant si on prend la définition épointée on a un problème avec $\delta_0(x):=0$ si $x\neq 0$ et $\delta_0(0)=1$.
En effet: $\delta_0(x) \underset {x\to 0; x \neq 0}{ \longrightarrow} 0$ et comme $\delta_0 \circ \delta_0 = 1 - \delta_0$, on a $\delta_0 \circ \delta_0 (x)\underset {x\to 0; x \neq 0}{ \longrightarrow} 1$. Donc le théorème de composition des limites est faux pour les limites épointées.
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
Dans tous les sujets, Le Français est prétentieux et ne veut pas faire comme tout le monde.
Il existe au moins une exception, c’est le sujet de ce fil.
Entendre « c’est fait partout sauf nous » n’est JAMAIS un argument.
Merci Foys, c'est l'exemple de Chaurien http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?18,1424120,1426094#msg-1426094
J'avais cru que tu utilisais la distribution de Dirac
Une anéctode
Dans mon cursus $L1\to L3$, si on me donnait une fonction qui vérifie $\forall x>0,\quad f(x)=0$ et si on me posait de calculer la limite en $0^+$ ma r"ponse était toujours 0 . Maintenant ( il y a quelques années déjà) je demanderai si d'abord f est définie en 0 ou non
Foys pour ta phrase Donc le théorème de composition des limites est faux pour les limites épointées
C'est la version "frensh" du théorème de la composée qui est incompatible avec la limite épointé, les anglo-saxons ont leur théorème ( un peu lourd) mais ça passe bien avec la limite épointé.
Dom c'est dimanche, il fait froid dehors, peux-ton bavarder ? je crois que la définition des fonctions continues par morceaux va poser problèmes avec la limite pointé. exemple la fonction de Heaviside n'est pas c.p.m avec la limite pointé
une f.c.m sur [a,b] est une fonction continue sur [a,b] sauf en un nombre fini de points $c_i$ avec des limites à droite et à gauche existent et finies en $c_i$
Pour moi, même s’il existe plusieurs formulations, je préfère :
« [...] pour tout $i$ il existe une fonction $g_i$ continue sur $[a_i;b_i]$ telle que sur $]a_i;b_i[$, $f=g_i$. ».
Je ne suis pas partisan de la limite "pointée" comme définition à priori mais je ne vois pas de problème avec la "continuité par morceaux" qui dit, à mon avis, qu'il existe une subdivision telle que la restriction à chaque intervalle ouvert de la fonction peut se prolonger en une fonction continue sur l'intervalle fermé correspondant.
Evidemment "restriction" signifie restriction, c'est-à-dire fonction non définie aux bornes !
Quant au théorème "un peu lourd" (dont je ne connais pas le détail) sur la composée $g_{\circ}f$ j'ai toujours utilisé (et cela recouvre tous les cas usuels) :
1. $f$ a une limite finie et $g$ continue en cette limite (résout les problèmes de dérivation par composition)
2. $f$ a une limite infinie (autorise le "changement de variables" dans la plupart des limites)
3. $f$ est strictement monotone (idem + autorise le changement de variables dans les intégrales généralisées)
Soyons honnêtes, ça ne vous arrive jamais de lire dans presque tous les documents qu'une f.c.m admet des limites à droites et à gauches en tout points?
Réponses
Mais pourquoi on calcule la limite dans le cas $x\neq 0$ et pas $x=0$ ?
Peux-tu rappeler ta definition d'une limite car avec ma definition Si f est définie en a et admet une limite en a, alors $f(a)=\lim_{x\to a}f(x)$
EDIT grillé par Gebrane
EDIT : grillé moi aussi :-D
pourtant on ne cherche pas une fonction continue
Ainsi, si $f(a)$ existe (l’image de $a$ par $f$ est bien définie), si la limite de $f$ en $a$ existe, alors cette limite est $f(a)$.
Ne t’inquiète pas si des échanges fusent.
Ta question est très pertinente.
Peux-tu nous écrire la définition de « $f$ a une limite en $a$ » en expression quantifiée ?
Dans ton cours ? Ton poly ? Ton bouquin ?
Dis-nous et tu auras une réponse très claire.
désolé,
Avec Dom tu es entre de bons mains
Comme $a$ est dans $D_f$, tu peux choisir $x=a$ dans cette assertion (quel que soit $\varepsilon$ et quel que soit $\delta$).
On se rend compte alors que $\ell$ ne peut être que $f(a)$ (puisque c’est vrai pour tout $\varepsilon$).
Une manière de le dire vite « unicité de la limite ».
Essaye de proposer une démonstration propre.
Là je n’ai rien démontré dans mon texte.
Tu peux comparer les définitions « $f$ admet une limite en $a$ » et « $f$ est continue en $a$ ».
Essaye d’écrire ça.
Notations: si $a$ est un nombre réel, on note $\mathcal V(a)$ l'ensemble de toutes les parties de la forme $]a-r,a+r[$ où $r$ parcourt l'ensemble des nombres réels strictement positifs.
On note $\mathcal V(+\infty)$ (resp. $\mathcal V(-\infty)$ ) l'ensemble de toutes les parties de $\R$ de la forme $]A,+\infty[$ (resp. $]-\infty, A[$) où $A$ parcourt l'ensemble de tous les réels.
Soient $E$ un ensemble, $f:E\to \R$ une fonction, (on les prend à valeurs réelles mais la généralisation aux espaces métriques voire topologiques est immédiate) $\mathcal F$ un ensemble de parties(*) de $E$. Soit $y\in \R\cup \{-\infty \} \cup \{+ \infty\}$. On dit que $f$ converge vers $y$ suivant $\mathcal F$ (ou encore que $y$ est une limite de $f$ suivant $\mathcal F$) si, pour tout $V\in \mathcal V(y)$, il existe $W\in \mathcal F$ tel que pour tout $t\in W$, $f(t) \in V$.
Notations et abréviations successives: soit $g:E \to \R$ une fonction et $z,\ell \in \R\cup \{-\infty \} \cup \{+ \infty\}$
"$g \underset {\mathcal F} {\longrightarrow} z$" est l'abréviation de "$g$ converge vers $z$ suivant $\mathcal F$".
Lorsqu'il y a unicité des limites éventuelles (cela est le cas dans toutes les situations qu'on envsage plus bas), on désigne par "$\lim \limits_{\mathcal F} g$ " la limite de $g$ en suivant $\mathcal F$.
Si $\Xi$ est une expression(**) (où figure la lettre $x$ ou non), "$\Xi \underset {x,\mathcal F} {\longrightarrow} \ell$" abrège $(x \mapsto \Xi) \underset {\mathcal F} {\longrightarrow} \ell$
et "$\lim \limits_{x,\mathcal F} \Xi$ " abrège $\lim \limits_{\mathcal F} (x \mapsto \Xi)$
Parmi les $E$ et $\mathcal F$ les plus utilisés (jusqu'à bac+2 on va dire) on trouve:
1°) $E:=\N$ et $\mathcal F$ est l'ensemble des parties de la forme $A_m := \{p\in \N \mid p \geq m\}$ où $m$ parcourt $\N$. Les fonctions de $\N$ dans $\R$ sont des suites numériques.
2°) $E:= \R$ et $\mathcal F$ est l'ensemble des parties de $\R$ de la forme $]B,+\infty[$ où $B$ parcourt $\R$.
Dans 1° comme dans 2°, si $t$ est une lettre, $\Psi$ une expression et $a \in \R\cup \{-\infty \} \cup \{+ \infty\}$, on emploie la notation $\lim \limits_{t \to +\infty} \Psi$ pour abréger $\lim \limits_{t, \mathcal F} \Psi$.
3°) $E$ est une partie de $\R$ $a$ un réel appartenant à $E$ et $\mathcal F$ est l'ensemble des parties de $\R$ de la forme $]a-u,a+u[ \cap E$ où $u$ parcourt l'ensemble de tous les réels strictement positifs.On abrège $\lim \limits_{t, \mathcal F} \Psi$ par "$\lim \limits_{t \to a} \Psi$" et on parle de "limite de $\Psi$ quand $t$ tend vers $a$".
4°) $E$ est une partie de $\R$, $a \in \R$, et $\mathcal F$ est l'ensemble des parties de $\R$ de la forme $]a-u,a [ \cup ]a,a+u[ \cap E$ où $u$ parcourt l'ensemble de tous les réels strictement positifs. Lorsqu'aucun élément de $\mathcal F$ n'est vide On abrège $\lim \limits_{t, \mathcal F} \Psi$ par "$\lim \limits_{t \to a; t \neq a} \Psi$" et on parle de "limite de $\Psi$ quand $t$ tend vers $a$ en étant différent de $a$".
3°) et 4°) sont différents et ce que cherche math89 n'existe que pour 4°).
[size=x-small](*) NB: très souvent $\mathcal F$ vérifie les conditions supplémentaires qui en font ce qu'on appelle une "base de filtre" (cependant il n'est pas nécessaire de les mentionner dans la définition ci-dessus):
BF1°) $\mathcal F$ est non vide
BF2°) pour tout $U \in \mathcal F$, $U$ est non vide
BF3°) pour tous $R,S\in \mathcal F$, il existe $T\in \mathcal F$ tel que $T\subseteq R \cap S$.
Ces conditions entraînent l'unicité de la limite éventuelle pour une fonction à valeur dans $\R\cup \{-\infty \} \cup \{+ \infty\}$
(**) Soit $\alpha$ une lettre de l'alphabet, $E,F$ des lettres désignant des ensembles et $\Phi$ une expression mathématique (agencement de lettres et de symboles) désignant un élément de $F$ et dans laquelle figure éventuellement $\alpha$. Alors l'expression $(\alpha \in E) \mapsto (\Phi \in F)$ (où encore simplement $\alpha \mapsto \Phi$ lorsque le contexte permet de savoir qu'on a affaire à $E$ et $F$) désigne une fonction de $E$ dans $F$, celle qui à un élément de $E$ désigné ici par $\mathbf t$, fait correspondre $\Phi[\alpha := \mathbf t]$ où $\Phi [\alpha := \mathbf t]$ désigne l'expression mathématique obtenue en remplaçant les occurrences de $\alpha$ par $\mathbf t$ (modulo certaines petites précautions pour ne pas dénaturer le sens des formules quand $\alpha$ apparaît comme auxiliaire dans des sous-formules- cf "alpha équivalence" sur le web).
Par exemple $x \mapsto \frac{1}{3+x^2}$ fait correspondre $\frac{1}{3+5^2}$ à $5$. c'est la même fonction que $y \mapsto \frac{1}{3+y^2}$.[/size]
Pourquoi annonces-tu « ici [...] épointée » ?
La définition donnée par l’auteur du fil ne l’est pas.
Lorsque les limites sont prises en ce sens (celui dudit message) et que $a$ est dans l'ensemble de définition de la fonction, il est impossible d'avoir la limite en $a$ de $f$ différnte de $f(a)$.
Avec ta définition , dans l'exemple de poirot peux-tu nous dire quoi ? (sur la limite à gauche ou à droite)
Attention pour limite à gauche et à droite, car là encore ça peut se faire « épointé » ou pas.
Ça peut se comprendre comme « limite à gauche stricte » ou « limite à droite stricte » (c’est moi qui donne ces qualificatifs « strict », je ne sais pas si c’est officialisé quelque part).
Ce texte a été écrit par un pur clown qui ne connait rien aux mathématiques hors cadre scolaire (sait-il ce qu'est un germe de fonction en un point?) et qui pense que les mathématiques (i.e. la discipline qui est de facto enseignée seulement à partir de l'enseignement supérieur) doivent se plier à un agenda pédagogiste (donc apparemment le mec ne sait pas que les maths existent dans un autre but que celui d'accaparer et sélectionner des lycéens/étudiants).
Dommage que je n'aie plus mes bouquins (99.999% sûr qu'il ment au sujet de Rudin) mais si on impose son caprice alors une grande partie de l'échafaudage de théorèmes d'analyse tombe à l'eau ou doit être explicitement amendé.
gebrane, vu que tu as le niveau:
Limites = limites au sens des filtres/bases de filtres. Après on voit les cas particuliers.
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?18,1424120,1426100
Il y a quand même une petite vérité dont ce qui l'a dit, les enseignants (une majorité) aux Lycées ne connaissent pas l'existence de deux notions de limites ( j'en ai fait la preuve)
Apparemment la définition de limite pointé est enseigné uniquement en France ? (cette question a été débattue dans le fil de Héhé http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?18,1424120,1426100 )
Avec les filtres je suis d'accord, mais faut-il attendre un cours de topologie pour calculer une limite ?
Pour ma part, j'ai très mal vécu au lycée l'utilisation de la limite épointée, au programme à mon époque. Très intuitivement, la limite est "ce qui se passe au bout", et quand f est définie en a et au voisinage, si la limite épointée n'est pas f(a), "ça se passe mal" !! Tout est devenu simple lorsqu'on a fait des limites au sens de la topologie, et je n'ai ensuite enseigné que cette sorte de limite en lycée et supérieur.
L'auteur de ton texte a peut-être appris comme notion de base la limite épointée, sans voir le problème (si on n'a pas d'intuition ...) et a du mal à saisir l'autre notion. Au point de qualifier de "connerie" ce qui est une notion mathématique simple. A partir de là, pas de discussion possible.
Cordialement.
Et à vrai dire, tout le monde s'en fout...
C'est à peu près aussi stérile que d'accepter ou non l'axiome du choix...
Ceci ne remet pas en cause les théorèmes de maths établis ^^
Explique explique ( tu veux dire quoi au juste ?) avec cet exemple avec les Dirac
Maintenant si on prend la définition épointée on a un problème avec $\delta_0(x):=0$ si $x\neq 0$ et $\delta_0(0)=1$.
En effet: $\delta_0(x) \underset {x\to 0; x \neq 0}{ \longrightarrow} 0$ et comme $\delta_0 \circ \delta_0 = 1 - \delta_0$, on a $\delta_0 \circ \delta_0 (x)\underset {x\to 0; x \neq 0}{ \longrightarrow} 1$. Donc le théorème de composition des limites est faux pour les limites épointées.
Il existe au moins une exception, c’est le sujet de ce fil.
Entendre « c’est fait partout sauf nous » n’est JAMAIS un argument.
J'avais cru que tu utilisais la distribution de Dirac
Une anéctode
Dans mon cursus $L1\to L3$, si on me donnait une fonction qui vérifie $\forall x>0,\quad f(x)=0$ et si on me posait de calculer la limite en $0^+$ ma r"ponse était toujours 0 . Maintenant ( il y a quelques années déjà) je demanderai si d'abord f est définie en 0 ou non
C'est la version "frensh" du théorème de la composée qui est incompatible avec la limite épointé, les anglo-saxons ont leur théorème ( un peu lourd) mais ça passe bien avec la limite épointé.
On contraint une définition et on s’aperçoit que ça complique des théorèmes.
Un peu comme autoriser 1 à être premier ou interdire 2 de l’être.
Je dis cela toute proportion gardée bien entendu.
Quelle est ta définition d'une fonction continue par morceaux ?
« [...] pour tout $i$ il existe une fonction $g_i$ continue sur $[a_i;b_i]$ telle que sur $]a_i;b_i[$, $f=g_i$. ».
Où est le problème ?
Evidemment "restriction" signifie restriction, c'est-à-dire fonction non définie aux bornes !
Quant au théorème "un peu lourd" (dont je ne connais pas le détail) sur la composée $g_{\circ}f$ j'ai toujours utilisé (et cela recouvre tous les cas usuels) :
1. $f$ a une limite finie et $g$ continue en cette limite (résout les problèmes de dérivation par composition)
2. $f$ a une limite infinie (autorise le "changement de variables" dans la plupart des limites)
3. $f$ est strictement monotone (idem + autorise le changement de variables dans les intégrales généralisées)
Soyons honnêtes, ça ne vous arrive jamais de lire dans presque tous les documents qu'une f.c.m admet des limites à droites et à gauches en tout points?
Hum.
Explique-moi alors.