Recherche d'une fonction

Bah oui, par exemple la fonction qui vaut $1$ en $0$ et $0$ partout ailleurs, avec $a=0$. Au passage tu voulais écrire $\lim_{x \to a}$ au lieu de $\lim_{x \in a}$ j'imagine.

Poirot
Peux-tu rappeler ta definition d'une limite car avec ma definition Si f est définie en a et admet une limite en a, alors $f(a)=\lim_{x\to a}f(x)$

Et pour une fonction discontinue en $a$ ?

EDIT : grillé moi aussi :-D

Math89 pas de souci.
Ne t’inquiète pas si des échanges fusent.

Ta question est très pertinente.

Peux-tu nous écrire la définition de « $f$ a une limite en $a$ » en expression quantifiée ?
Dans ton cours ? Ton poly ? Ton bouquin ?
Dis-nous et tu auras une réponse très claire.

@math89
désolé,
Avec Dom tu es entre de bons mains

Il y a des définitions différentes pour la limite (ici on a affaire à une limite épointée).

Notations: si $a$ est un nombre réel, on note $\mathcal V(a)$ l'ensemble de toutes les parties de la forme $]a-r,a+r[$ où $r$ parcourt l'ensemble des nombres réels strictement positifs.
On note $\mathcal V(+\infty)$ (resp. $\mathcal V(-\infty)$ ) l'ensemble de toutes les parties de $\R$ de la forme $]A,+\infty[$ (resp. $]-\infty, A[$) où $A$ parcourt l'ensemble de tous les réels.

Soient $E$ un ensemble, $f:E\to \R$ une fonction, (on les prend à valeurs réelles mais la généralisation aux espaces métriques voire topologiques est immédiate) $\mathcal F$ un ensemble de parties(*) de $E$. Soit $y\in \R\cup \{-\infty \} \cup \{+ \infty\}$. On dit que $f$ converge vers $y$ suivant $\mathcal F$ (ou encore que $y$ est une limite de $f$ suivant $\mathcal F$) si, pour tout $V\in \mathcal V(y)$, il existe $W\in \mathcal F$ tel que pour tout $t\in W$, $f(t) \in V$.

Notations et abréviations successives: soit $g:E \to \R$ une fonction et $z,\ell \in \R\cup \{-\infty \} \cup \{+ \infty\}$
"$g \underset {\mathcal F} {\longrightarrow} z$" est l'abréviation de "$g$ converge vers $z$ suivant $\mathcal F$".
Lorsqu'il y a unicité des limites éventuelles (cela est le cas dans toutes les situations qu'on envsage plus bas), on désigne par "$\lim \limits_{\mathcal F} g$ " la limite de $g$ en suivant $\mathcal F$.

Si $\Xi$ est une expression(**) (où figure la lettre $x$ ou non), "$\Xi \underset {x,\mathcal F} {\longrightarrow} \ell$" abrège $(x \mapsto \Xi) \underset {\mathcal F} {\longrightarrow} \ell$
et "$\lim \limits_{x,\mathcal F} \Xi$ " abrège $\lim \limits_{\mathcal F} (x \mapsto \Xi)$

Parmi les $E$ et $\mathcal F$ les plus utilisés (jusqu'à bac+2 on va dire) on trouve:
1°) $E:=\N$ et $\mathcal F$ est l'ensemble des parties de la forme $A_m := \{p\in \N \mid p \geq m\}$ où $m$ parcourt $\N$. Les fonctions de $\N$ dans $\R$ sont des suites numériques.
2°) $E:= \R$ et $\mathcal F$ est l'ensemble des parties de $\R$ de la forme $]B,+\infty[$ où $B$ parcourt $\R$.
Dans 1° comme dans 2°, si $t$ est une lettre, $\Psi$ une expression et $a \in \R\cup \{-\infty \} \cup \{+ \infty\}$, on emploie la notation $\lim \limits_{t \to +\infty} \Psi$ pour abréger $\lim \limits_{t, \mathcal F} \Psi$.

3°) $E$ est une partie de $\R$ $a$ un réel appartenant à $E$ et $\mathcal F$ est l'ensemble des parties de $\R$ de la forme $]a-u,a+u[ \cap E$ où $u$ parcourt l'ensemble de tous les réels strictement positifs.On abrège $\lim \limits_{t, \mathcal F} \Psi$ par "$\lim \limits_{t \to a} \Psi$" et on parle de "limite de $\Psi$ quand $t$ tend vers $a$".

4°) $E$ est une partie de $\R$, $a \in \R$, et $\mathcal F$ est l'ensemble des parties de $\R$ de la forme $]a-u,a [ \cup ]a,a+u[ \cap E$ où $u$ parcourt l'ensemble de tous les réels strictement positifs. Lorsqu'aucun élément de $\mathcal F$ n'est vide On abrège $\lim \limits_{t, \mathcal F} \Psi$ par "$\lim \limits_{t \to a; t \neq a} \Psi$" et on parle de "limite de $\Psi$ quand $t$ tend vers $a$ en étant différent de $a$".

3°) et 4°) sont différents et ce que cherche math89 n'existe que pour 4°).




[size=x-small](*) NB: très souvent $\mathcal F$ vérifie les conditions supplémentaires qui en font ce qu'on appelle une "base de filtre" (cependant il n'est pas nécessaire de les mentionner dans la définition ci-dessus):
BF1°) $\mathcal F$ est non vide
BF2°) pour tout $U \in \mathcal F$, $U$ est non vide
BF3°) pour tous $R,S\in \mathcal F$, il existe $T\in \mathcal F$ tel que $T\subseteq R \cap S$.
Ces conditions entraînent l'unicité de la limite éventuelle pour une fonction à valeur dans $\R\cup \{-\infty \} \cup \{+ \infty\}$

(**) Soit $\alpha$ une lettre de l'alphabet, $E,F$ des lettres désignant des ensembles et $\Phi$ une expression mathématique (agencement de lettres et de symboles) désignant un élément de $F$ et dans laquelle figure éventuellement $\alpha$. Alors l'expression $(\alpha \in E) \mapsto (\Phi \in F)$ (où encore simplement $\alpha \mapsto \Phi$ lorsque le contexte permet de savoir qu'on a affaire à $E$ et $F$) désigne une fonction de $E$ dans $F$, celle qui à un élément de $E$ désigné ici par $\mathbf t$, fait correspondre $\Phi[\alpha := \mathbf t]$ où $\Phi [\alpha := \mathbf t]$ désigne l'expression mathématique obtenue en remplaçant les occurrences de $\alpha$ par $\mathbf t$ (modulo certaines petites précautions pour ne pas dénaturer le sens des formules quand $\alpha$ apparaît comme auxiliaire dans des sous-formules- cf "alpha équivalence" sur le web).
Par exemple $x \mapsto \frac{1}{3+x^2}$ fait correspondre $\frac{1}{3+5^2}$ à $5$. c'est la même fonction que $y \mapsto \frac{1}{3+y^2}$.[/size]

@Dom: je n'avais pas vu ce message: http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1897906,1897994#msg-1897994 et me fiais aux réponses qui lui ont été faites.

Lorsque les limites sont prises en ce sens (celui dudit message) et que $a$ est dans l'ensemble de définition de la fonction, il est impossible d'avoir la limite en $a$ de $f$ différnte de $f(a)$.

Ok Foys.

Attention pour limite à gauche et à droite, car là encore ça peut se faire « épointé » ou pas.
Ça peut se comprendre comme « limite à gauche stricte » ou « limite à droite stricte » (c’est moi qui donne ces qualificatifs « strict », je ne sais pas si c’est officialisé quelque part).

gebrane a écrit:

Contre ou pour ? [math-et-physique.over-blog.com]

Ce texte a été écrit par un pur clown qui ne connait rien aux mathématiques hors cadre scolaire (sait-il ce qu'est un germe de fonction en un point?) et qui pense que les mathématiques (i.e. la discipline qui est de facto enseignée seulement à partir de l'enseignement supérieur) doivent se plier à un agenda pédagogiste (donc apparemment le mec ne sait pas que les maths existent dans un autre but que celui d'accaparer et sélectionner des lycéens/étudiants).

Dommage que je n'aie plus mes bouquins (99.999% sûr qu'il ment au sujet de Rudin) mais si on impose son caprice alors une grande partie de l'échafaudage de théorèmes d'analyse tombe à l'eau ou doit être explicitement amendé.

gebrane, vu que tu as le niveau:
Limites = limites au sens des filtres/bases de filtres. Après on voit les cas particuliers.

Foys

Il y a quand même une petite vérité dont ce qui l'a dit, les enseignants (une majorité) aux Lycées ne connaissent pas l'existence de deux notions de limites ( j'en ai fait la preuve)
Apparemment la définition de limite pointé est enseigné uniquement en France ? (cette question a été débattue dans le fil de Héhé http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?18,1424120,1426100 )
Avec les filtres je suis d'accord, mais faut-il attendre un cours de topologie pour calculer une limite ?

Il me semble que les définitions des limites pointées ou épointées étaient déjà un débat dans les années 80 (en terminale, me semblait-il...)
Et à vrai dire, tout le monde s'en fout...
C'est à peu près aussi stérile que d'accepter ou non l'axiome du choix...
Ceci ne remet pas en cause les théorèmes de maths établis ^^

Mon ami Foys
Explique explique ( tu veux dire quoi au juste ?) avec cet exemple avec les Dirac

Dans tous les sujets, Le Français est prétentieux et ne veut pas faire comme tout le monde.
Il existe au moins une exception, c’est le sujet de ce fil.

Entendre « c’est fait partout sauf nous » n’est JAMAIS un argument.

Je concède que l'appellation "Dirac" est un peu malheureuse (il ne s'agit pas du tout de la distribution du même nom ici).

Le « un peu lourd » est un euphémisme.
On contraint une définition et on s’aperçoit que ça complique des théorèmes.

Un peu comme autoriser 1 à être premier ou interdire 2 de l’être.
Je dis cela toute proportion gardée bien entendu.

Dom c'est dimanche, il fait froid dehors, peux-ton bavarder ? je crois que la définition des fonctions continues par morceaux va poser problèmes avec la limite pointé. exemple la fonction de Heaviside n'est pas c.p.m avec la limite pointé

une f.c.m sur [a,b] est une fonction continue sur [a,b] sauf en un nombre fini de points $c_i$ avec des limites à droite et à gauche existent et finies en $c_i$

Je ne suis pas partisan de la limite "pointée" comme définition à priori mais je ne vois pas de problème avec la "continuité par morceaux" qui dit, à mon avis, qu'il existe une subdivision telle que la restriction à chaque intervalle ouvert de la fonction peut se prolonger en une fonction continue sur l'intervalle fermé correspondant.
Evidemment "restriction" signifie restriction, c'est-à-dire fonction non définie aux bornes !

Quant au théorème "un peu lourd" (dont je ne connais pas le détail) sur la composée $g_{\circ}f$ j'ai toujours utilisé (et cela recouvre tous les cas usuels) :
1. $f$ a une limite finie et $g$ continue en cette limite (résout les problèmes de dérivation par composition)
2. $f$ a une limite infinie (autorise le "changement de variables" dans la plupart des limites)
3. $f$ est strictement monotone (idem + autorise le changement de variables dans les intégrales généralisées)

Si, si, gebrane. Je l’ai dit : on a plusieurs définitions équivalentes.

@gebrane: Pour la fonction de Heaviside, quelle est la limite (pointée) en 0 qui n'existe pas d'après toi ? La gauche ou la droite ?