Pensez à lire la Charte avant de poster !

$\newcommand{\K}{\mathbf K}$


Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques supérieures
 Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques universitaires - Forum - Cours à télécharger

A lire
Deug/Prépa
Licence
Agrégation
A télécharger
Télécharger
286 personne(s) sur le site en ce moment
E. Cartan
A lire
Articles
Math/Infos
Récréation
A télécharger
Télécharger
Théorème de Cantor-Bernstein
Théo. Sylow
Théo. Ascoli
Théo. Baire
Loi forte grd nbre
Nains magiques
 
 
 
 
 

Recherche d'une fonction

Envoyé par math89 
Dom
Re: Recherche d'une fonction
il y a neuf mois
Ton contre-exemple c’est Heaviside ?

Hum.
Explique-moi alors.
Re: Recherche d'une fonction
il y a neuf mois
avatar
Oui Dom c'est Heaviside, elle est définie de la sorte $H(x)=0$ si $x<0$ et $H(x)=1$ si $x\geq 0$
avec limite pointé, H n'admet pas de limite à gauche en 0 donc selon ma définition de f.c.m, elle n'est pas c.p.m, elle l'est avec ta définition de f.c.m
Avec la limite épointé, H admet des limites à droites et à gauche et elle est c.p.m selon nos deux définitions de f.p.m.
@P.M Bonjour,
je viens de voir ton message
la limite à gauche n'existe pas et la limite à droire existe et égale à H(0)=1

Signature:
[Suffit-il, pour être soi-même, d'être différent des autres ? ]



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a neuf mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par gebrane.
Dom
Re: Recherche d'une fonction
il y a neuf mois
Ok. Tu n’as pas bien défini tes limites de fonctions justement.
Limite à gauche de quoi ? De quelle fonction ?
Moi, ce sont des fonctions qui coïncident à d’autres.

Écris une définition propre de c.p.m.
Normalement on a une restriction à l’intervalle ouvert donc on étudie la limite (les deux définitions pointé/épointé vont bien) en enlevant le point.
Et oui, on enlève le point avant de parler de limite.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a neuf mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: Recherche d'une fonction
il y a neuf mois
La notion de continuité par morceaux n'est pas dépendante du choix de la définition de limite pointée ou épointée.

Je rappelle qu'une fonction $f \colon [a,b] \to \mathbb R$ est continue par morceaux s'il existe une subdivision $(s_0,\ldots,s_n)$ du segment $[a,b]$:
$$s_0 = a < s_1 < \cdots < s_{n-1} < s_n = b$$
telle que pour tout $i \in \{0,\ldots,n-1\}$, la restriction $f \vert_{]s_i,s_{i+1}[}$ soit continue et admette des limites finies à droite en $s_i$ et à gauche en $s_{i+1}$ (ou ce qui revient au même si $f \vert_{]s_i,s_{i+1}[}$ se prolonge en une fonction continue sur $[s_i,s_{i+1}]$).

Si on a un intervalle $I$ quelconque, une fonction $f \colon I \to \mathbb R$ est continue par morceaux sur $I$ si sa restriction à n'importe quel segment de $I$ est continue par morceaux.

Comme c'est bien expliqué dans le document de Daniel Perrin que j'ai posté plus haut, les notions de limites pointées et épointées coïncident quand le point où on cherche la limite n'est pas dans l'ensemble de définition de la fonction, ce qui est le cas ici ($s_i$ et $s_{i+1}$ ne sont pas dans $]s_i,s_{i+1}[$).

Donc la fonction de Heaviside est continue par morceaux, quelque soit la définition de limite que l'on choisit.

A noter que la valeur de $f$ aux points $s_i$ n'a absolument aucune importance dans cette définition.



Edité 4 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a neuf mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Héhéhé.
Re: Recherche d'une fonction
il y a neuf mois
avatar
Dom , lisons ce document pour exemple
Tu as en haut ta définition de fonctions c.p.m et en bas la mienne.
Avec la limité pointé, ces deux définitions ne sont pas compatibles, tu es d'accord ou non
@Héhé je viens de te lire

Signature:
[Suffit-il, pour être soi-même, d'être différent des autres ? ]


Re: Recherche d'une fonction
il y a neuf mois
avatar
@héhé
Heaviside est définie par $H(x)=0$ si $x<0$ et $H(x)=1$ si $x\geq 0$,
sa limité à gauche n'existe pas selon le pointé

Signature:
[Suffit-il, pour être soi-même, d'être différent des autres ? ]
Re: Recherche d'une fonction
il y a neuf mois
Et alors ? Ce qui compte ce sont les restrictions. Relis calmement la définition!

Les fonctions $H \vert_{]-\infty,0[}$ et $H \vert_{]0,+\infty[}$ admettent bien toutes les deux des limites finies en $0$, et ceci quelque soit la définition de limite.

$H$ est bien continue par morceaux.
Re: Recherche d'une fonction
il y a neuf mois
avatar
Héhé je te comprends et aussi Dom, mais regarde le document, que j'ai donné, après le autrement dit "on n'enlève pas les points"

Signature:
[Suffit-il, pour être soi-même, d'être différent des autres ? ]
Re: Recherche d'une fonction
il y a neuf mois
Vu qu'on ne sait pas la définition de limite utilisée dans ton document, c'est difficile de répondre... Ce n'est pas très bien rédigé après le "autrement dit", il aurait mieux fallu reprendre la restriction pour lever toute ambiguïté, mais encore une fois en fonction de la définition choisie c'est correct ou non.

La vraie définition est claire, et montre bien que $H$ est continue par morceaux.

Ça serait complètement idiot d'avoir une définition qui dépendrait du choix des valeurs de $f(s_i)$ (pour reprendre mes notations).



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a neuf mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: Recherche d'une fonction
il y a neuf mois
avatar
On est d'accord, Je vais oublier mon ancienne définition et adopter la vôtre DOM-rakam-Héhé
Pour le document de Daniel Perrin, je pense que je suis le premier qui l'a cité dans ce forum [www.les-mathematiques.net]

Signature:
[Suffit-il, pour être soi-même, d'être différent des autres ? ]



Edité 2 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a neuf mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: Recherche d'une fonction
il y a neuf mois
La définition de limites par base de filtre est (*) équivalente (au sens où on peut traiter rapidement l'une à partir de l'autre: elles ont même degré de généralité) à la définition suivante que l'on trouve parfois:

Soient $X,Y$ deux espaces topologiques, $A$ une partie de $X$, $a$ un élément de $X$ adhérent à $A$, $\ell$ un élément de $Y$ et $f:A\to Y$ une application. On dit que "$f(x)$ tend vers $\ell$ quand $x$ tend vers $a$" si pour tout voisinage $W$ de $\ell$ dans $Y$, il existe un voisinage $V$ de $x$ dans $X$ tel que $f(V \cap A) \subseteq W$.

Cependant des pédagogistes (des pays occidentaux: les américains sont encore pires que nous à ce sujet) ayant très peu réfléchi et qui croyaient toucher la transcendance ont imaginé que "quand $a$ est adhérent à $A$, c'est que $a\notin A$ car le sens blabla et puis c'est intuitif, c'est ce que les élèves comprennent". Ce genre d'ânerie digne de "un carré n'est pas un rectangle" et autres "$(A \Rightarrow B) \Leftrightarrow (A \Leftrightarrow B)$" est ce qui suinte de cette définition épouvantable.

(*) Soit $E$ un ensemble, $\mathfrak B$ une base de filtre sur $E$, $(F,\sigma)$ un espace topologique, $f:E\to F$ une application et $\ell \in F$. Soit $\omega \notin E$. On considère $\tau:= \mathcal P(E) \cup\left \{T \cup \{\omega\} \mid T \subseteq E \wedge \exists S \in \mathfrak B: S \subseteq T\right \}$. Alors $\tau$ est une topologie sur $E\cup \{\omega\}$ (ça recouvre $E$ parce que $\mathfrak B$ est non vide) pour laquelle $\omega$ est adhérent à $E$ (car aucun élément de $\mathfrak B$ n'est vide). En outre, $f(x)$ converge vers $\ell$ quand $x\in E$ tend vers $\omega$ si et seulement si, pour tout voisinage $V$ de $\ell$, il existe $C\in \mathfrak B$ tel que $f(C)\subseteq V$.



Edité 4 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a neuf mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Foys.
Re: Recherche d'une fonction
il y a neuf mois
Les difficultés de compréhension de la notion de limite ne résident pas dans le choix pointé/épointé mais dans le fait que la manipulation sûre des variables liées et des quantifications (quel que soit ... il existe ...) est indispensable pour traiter cette notion, peu importe la définition retenue.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a neuf mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Foys.
Re: Recherche d'une fonction
il y a neuf mois
avatar
Foys, je pense qu'il y a vraiment un probleme, on oublie systématiquement si on utilise la version pointé ou épointé. Dans un récent fil, on donne une fonction qui n'admet pas une limite en 0 ( version pointé) et on donne un équivalent de cette fonction en 0 qui a admet une limite nulle, je trouve cela contradictoire

Signature:
[Suffit-il, pour être soi-même, d'être différent des autres ? ]
Dom
Re: Recherche d'une fonction
il y a neuf mois
J’arrive après quelques échanges.
Gebrane, la définition (encadré jaune) est claire.
C’est bien la restriction à l’ouvert qui admet une limite.
Le « autrement dit » est dangereux et faux tel quel.
Le $f$ dont il parle est en fait le $f_{| \ ]a_i;a_{i+1}[}$.
C’est cette dernière fonction dont on demande d’avoir des limites à droite et à gauche.
Il est évident (hum...bon bref) que $f$ n’a pas de limite au point de discontinuité. Limite machin ou limite bidule... enfin...on peut trouver des exemples mais le message de ce « autrement dit » bousille tout.

Ça illustre parfaitement que le diable est dans les détails.
Re: Recherche d'une fonction
il y a neuf mois
@gebrane
On peut utiliser une notation idoine pour dire de qui on parle.
$\lim \limits_{x \to a} f(x)$ pour la limite pointée.
$\lim \limits_{\begin{align}& x \to a \\ & x \neq a \end{align}} f(x)$ pour la limite épointée.
Re: Recherche d'une fonction
il y a neuf mois
Soient $X$ un espace topologique, $a,b\in \R$ tels que $a<b$ et $f:[a,b] \to X$. On dit que $f$ est continue par morceaux s'il existe $n\in \N$, $(s_k)_{0\leq k \leq n} \in [a,b]^n$ tels que $s_0=a,s_n=b$,$s_i < s_{i+1}$ pour tous $i\in \{0,...,n-1\}$; tels que la restriction de $f$ à $[a,b] \backslash \{s_i \mid 0 \leq i \leq n\}$ est continue, et telle que $f$ possède une limite épointée à gauche en $s_i$ pour tous $i\in \{0,...,n-1\}$ et une limite épointée à droite en $s_j$ pour tous $j\in \{1,...,n\}$.
Re: Recherche d'une fonction
il y a neuf mois
avatar
Citation
Dom
Entendre « c’est fait partout sauf nous » n’est JAMAIS un argument.

Ni dans un sens ni dans l’autre.

Le café est un breuvage qui fait dormir,
quand on n’en prend pas.
-+- Alphonse Allais -+-
Re: Recherche d'une fonction
il y a neuf mois
avatar
On continue notre bavardage (à qui intéresse), maintenant sur les équivalents.
Si $f\sim g$ en $a$ et limite de $g$ en $a$ existe et finie égale à $\ell$ alors $f$ admet une limite en $a$ égale $\ell$
Est-ce que cette propriété est compatible pour les limites pointés/épointés. Je crois qu'il y a un piège ! Qu'en dites-vous ? Soit $f(x)=x$ si $x\neq 0 $ et $f(0)=2$ on a $f\sim x$ en 0 (selon la définition [www.les-mathematiques.net] ) mais $x\mapsto x$ admet une limite en $0$ mais $f$ non.

Signature:
[Suffit-il, pour être soi-même, d'être différent des autres ? ]



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a neuf mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Dom
Re: Recherche d'une fonction
il y a neuf mois
Au sujet des équivalents, on a aussi des définitions épointées.
J’ai un doute d’ailleurs.
Re: Recherche d'une fonction
il y a neuf mois
Les équivalents marchent pour toutes les notions de limite imaginables. En effet:

soit $E$ un ensemble, $\mathfrak B$ une base de filtre sur $E$, $f,g: E\to \R$ des applications.
Alors $f$ et $g$ sont dites équivalentes (resp $f$ négligeable devant $g$; resp $f$ dominée par $g$) suivant $\mathfrak B$ s'il existe $\eta: E\to \R$ et $A\in \mathfrak B$ telle que $f(x) = \eta(x) g(x)$ pour tout $x\in A$ et $\eta$ tend vers $1$ suivant $\mathfrak B$ (resp tend vers 0; resp il existe $C\in \mathfrak B$ telle que la restriction de $\eta$ à $C$ est bornée).




Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a neuf mois et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par Foys.
Re: Recherche d'une fonction
il y a neuf mois
avatar
merci Foys
Bavardage mode off

Signature:
[Suffit-il, pour être soi-même, d'être différent des autres ? ]
Dom
Re: Recherche d'une fonction
il y a neuf mois
Oui, Nicolas. winking smiley
Re: Recherche d'une fonction
il y a neuf mois
avatar
Bavardage mode on
La limite au sens pointé est incompatible avec ce théorème. Toute fonction monotone sur un intervalle admet en tout point de cet intervalle une limite à gauche et une limite à droite

Signature:
[Suffit-il, pour être soi-même, d'être différent des autres ? ]
Seuls les utilisateurs enregistrés peuvent poster des messages dans ce forum.

Cliquer ici pour vous connecter

Liste des forums - Statistiques du forum

Total
Discussions: 144 626, Messages: 1 437 316, Utilisateurs: 26 948.
Notre dernier utilisateur inscrit minmaxou.


Ce forum
Discussions: 32 474, Messages: 302 542.

 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
Adresse Mail:

Inscription
Désinscription

Actuellement 16057 abonnés
Qu'est-ce que c'est ?
Taper le mot à rechercher

Mode d'emploi
En vrac

Faites connaître Les-Mathematiques.net à un ami
Curiosités
Participer
Latex et autres....
Collaborateurs
Forum

Nous contacter

Le vote Linux

WWW IMS
Cut the knot
Mac Tutor History...
Number, constant,...
Plouffe's inverter
The Prime page