Oui Dom c'est Heaviside, elle est définie de la sorte $H(x)=0$ si $x<0$ et $H(x)=1$ si $x\geq 0$
avec limite pointé, H n'admet pas de limite à gauche en 0 donc selon ma définition de f.c.m, elle n'est pas c.p.m, elle l'est avec ta définition de f.c.m
Avec la limite épointé, H admet des limites à droites et à gauche et elle est c.p.m selon nos deux définitions de f.p.m. @P.M Bonjour,
je viens de voir ton message
la limite à gauche n'existe pas et la limite à droire existe et égale à H(0)=1
Ok. Tu n’as pas bien défini tes limites de fonctions justement.
Limite à gauche de quoi ? De quelle fonction ?
Moi, ce sont des fonctions qui coïncident à d’autres.
Écris une définition propre de c.p.m.
Normalement on a une restrictionà l’intervalle ouvert donc on étudie la limite (les deux définitions pointé/épointé vont bien) en enlevant le point.
Et oui, on enlève le point avant de parler de limite.
La notion de continuité par morceaux n'est pas dépendante du choix de la définition de limite pointée ou épointée.
Je rappelle qu'une fonction $f \colon [a,b] \to \mathbb R$ est continue par morceaux s'il existe une subdivision $(s_0,\ldots,s_n)$ du segment $[a,b]$:
$$s_0 = a < s_1 < \cdots < s_{n-1} < s_n = b$$
telle que pour tout $i \in \{0,\ldots,n-1\}$, la restriction $f \vert_{]s_i,s_{i+1}[}$ soit continue et admette des limites finies à droite en $s_i$ et à gauche en $s_{i+1}$ (ou ce qui revient au même si $f \vert_{]s_i,s_{i+1}[}$ se prolonge en une fonction continue sur $[s_i,s_{i+1}]$).
Si on a un intervalle $I$ quelconque, une fonction $f \colon I \to \mathbb R$ est continue par morceaux sur $I$ si sa restriction à n'importe quel segment de $I$ est continue par morceaux.
Comme c'est bien expliqué dans le document de Daniel Perrin que j'ai posté plus haut, les notions de limites pointées et épointées coïncident quand le point où on cherche la limite n'est pas dans l'ensemble de définition de la fonction, ce qui est le cas ici ($s_i$ et $s_{i+1}$ ne sont pas dans $]s_i,s_{i+1}[$).
Donc la fonction de Heaviside est continue par morceaux, quelque soit la définition de limite que l'on choisit.
A noter que la valeur de $f$ aux points $s_i$ n'a absolument aucune importance dans cette définition.
Dom , lisons ce document pour exemple
Tu as en haut ta définition de fonctions c.p.m et en bas la mienne.
Avec la limité pointé, ces deux définitions ne sont pas compatibles, tu es d'accord ou non @Héhé je viens de te lire
Et alors ? Ce qui compte ce sont les restrictions. Relis calmement la définition!
Les fonctions $H \vert_{]-\infty,0[}$ et $H \vert_{]0,+\infty[}$ admettent bien toutes les deux des limites finies en $0$, et ceci quelque soit la définition de limite.
Vu qu'on ne sait pas la définition de limite utilisée dans ton document, c'est difficile de répondre... Ce n'est pas très bien rédigé après le "autrement dit", il aurait mieux fallu reprendre la restriction pour lever toute ambiguïté, mais encore une fois en fonction de la définition choisie c'est correct ou non.
La vraie définition est claire, et montre bien que $H$ est continue par morceaux.
Ça serait complètement idiot d'avoir une définition qui dépendrait du choix des valeurs de $f(s_i)$ (pour reprendre mes notations).
La définition de limites par base de filtre est (*) équivalente (au sens où on peut traiter rapidement l'une à partir de l'autre: elles ont même degré de généralité) à la définition suivante que l'on trouve parfois:
Soient $X,Y$ deux espaces topologiques, $A$ une partie de $X$, $a$ un élément de $X$ adhérent à $A$, $\ell$ un élément de $Y$ et $f:A\to Y$ une application. On dit que "$f(x)$ tend vers $\ell$ quand $x$ tend vers $a$" si pour tout voisinage $W$ de $\ell$ dans $Y$, il existe un voisinage $V$ de $x$ dans $X$ tel que $f(V \cap A) \subseteq W$.
Cependant des pédagogistes (des pays occidentaux: les américains sont encore pires que nous à ce sujet) ayant très peu réfléchi et qui croyaient toucher la transcendance ont imaginé que "quand $a$ est adhérent à $A$, c'est que $a\notin A$ car le sens blabla et puis c'est intuitif, c'est ce que les élèves comprennent". Ce genre d'ânerie digne de "un carré n'est pas un rectangle" et autres "$(A \Rightarrow \Leftrightarrow (A \Leftrightarrow $" est ce qui suinte de cette définition épouvantable.
[size=x-small](*) Soit $E$ un ensemble, $\mathfrak B$ une base de filtre sur $E$, $(F,\sigma)$ un espace topologique, $f:E\to F$ une application et $\ell \in F$. Soit $\omega \notin E$. On considère $\tau:= \mathcal P(E) \cup\left \{T \cup \{\omega\} \mid T \subseteq E \wedge \exists S \in \mathfrak B: S \subseteq T\right \}$. Alors $\tau$ est une topologie sur $E\cup \{\omega\}$ (ça recouvre $E$ parce que $\mathfrak B$ est non vide) pour laquelle $\omega$ est adhérent à $E$ (car aucun élément de $\mathfrak B$ n'est vide). En outre, $f(x)$ converge vers $\ell$ quand $x\in E$ tend vers $\omega$ si et seulement si, pour tout voisinage $V$ de $\ell$, il existe $C\in \mathfrak B$ tel que $f(C)\subseteq V$.[/size]
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
Les difficultés de compréhension de la notion de limite ne résident pas dans le choix pointé/épointé mais dans le fait que la manipulation sûre des variables liées et des quantifications (quel que soit ... il existe ...) est indispensable pour traiter cette notion, peu importe la définition retenue.
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
Foys, je pense qu'il y a vraiment un probleme, on oublie systématiquement si on utilise la version pointé ou épointé. Dans un récent fil, on donne une fonction qui n'admet pas une limite en 0 ( version pointé) et on donne un équivalent de cette fonction en 0 qui a admet une limite nulle, je trouve cela contradictoire
J’arrive après quelques échanges.
Gebrane, la définition (encadré jaune) est claire.
C’est bien la restriction à l’ouvert qui admet une limite.
Le « autrement dit » est dangereux et faux tel quel.
Le $f$ dont il parle est en fait le $f_{| \ ]a_i;a_{i+1}[}$.
C’est cette dernière fonction dont on demande d’avoir des limites à droite et à gauche.
Il est évident (hum...bon bref) que $f$ n’a pas de limite au point de discontinuité. Limite machin ou limite bidule... enfin...on peut trouver des exemples mais le message de ce « autrement dit » bousille tout.
Ça illustre parfaitement que le diable est dans les détails.
@gebrane
On peut utiliser une notation idoine pour dire de qui on parle.
$\lim \limits_{x \to a} f(x)$ pour la limite pointée.
$\lim \limits_{\begin{align}& x \to a \\ & x \neq a \end{align}} f(x)$ pour la limite épointée.
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
Soient $X$ un espace topologique, $a,b\in \R$ tels que $a<b$ et $f:[a,b] \to X$. On dit que $f$ est continue par morceaux s'il existe $n\in \N$, $(s_k)_{0\leq k \leq n} \in [a,b]^n$ tels que $s_0=a,s_n=b$,$s_i < s_{i+1}$ pour tous $i\in \{0,...,n-1\}$; tels que la restriction de $f$ à $[a,b] \backslash \{s_i \mid 0 \leq i \leq n\}$ est continue, et telle que $f$ possède une limite épointée à gauche en $s_i$ pour tous $i\in \{0,...,n-1\}$ et une limite épointée à droite en $s_j$ pour tous $j\in \{1,...,n\}$.
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
On continue notre bavardage (à qui intéresse), maintenant sur les équivalents.
Si $f\sim g$ en $a$ et limite de $g$ en $a$ existe et finie égale à $\ell$ alors $f$ admet une limite en $a$ égale $\ell$
Est-ce que cette propriété est compatible pour les limites pointés/épointés. Je crois qu'il y a un piège ! Qu'en dites-vous ? Soit $f(x)=x$ si $x\neq 0 $ et $f(0)=2$ on a $f\sim x$ en 0 (selon la définition http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1898510,1898910#msg-1898910 ) mais $x\mapsto x$ admet une limite en $0$ mais $f$ non.
Les équivalents marchent pour toutes les notions de limite imaginables. En effet:
soit $E$ un ensemble, $\mathfrak B$ une base de filtre sur $E$, $f,g: E\to \R$ des applications.
Alors $f$ et $g$ sont dites équivalentes (resp $f$ négligeable devant $g$; resp $f$ dominée par $g$) suivant $\mathfrak B$ s'il existe $\eta: E\to \R$ et $A\in \mathfrak B$ telle que $f(x) = \eta(x) g(x)$ pour tout $x\in A$ et $\eta$ tend vers $1$ suivant $\mathfrak B$ (resp tend vers 0; resp il existe $C\in \mathfrak B$ telle que la restriction de $\eta$ à $C$ est bornée).
Une fonction est un ensemble $f$ de couples tel que pour tous $x,y,z$, si $(x,y)\in f$ et $(x,z)\in f$ alors $y = z$.
Bavardage mode on
La limite au sens pointé est incompatible avec ce théorème. Toute fonction monotone sur un intervalle admet en tout point de cet intervalle une limite à gauche et une limite à droite
Réponses
avec limite pointé, H n'admet pas de limite à gauche en 0 donc selon ma définition de f.c.m, elle n'est pas c.p.m, elle l'est avec ta définition de f.c.m
Avec la limite épointé, H admet des limites à droites et à gauche et elle est c.p.m selon nos deux définitions de f.p.m.
@P.M Bonjour,
je viens de voir ton message
la limite à gauche n'existe pas et la limite à droire existe et égale à H(0)=1
Limite à gauche de quoi ? De quelle fonction ?
Moi, ce sont des fonctions qui coïncident à d’autres.
Écris une définition propre de c.p.m.
Normalement on a une restriction à l’intervalle ouvert donc on étudie la limite (les deux définitions pointé/épointé vont bien) en enlevant le point.
Et oui, on enlève le point avant de parler de limite.
Je rappelle qu'une fonction $f \colon [a,b] \to \mathbb R$ est continue par morceaux s'il existe une subdivision $(s_0,\ldots,s_n)$ du segment $[a,b]$:
$$s_0 = a < s_1 < \cdots < s_{n-1} < s_n = b$$
telle que pour tout $i \in \{0,\ldots,n-1\}$, la restriction $f \vert_{]s_i,s_{i+1}[}$ soit continue et admette des limites finies à droite en $s_i$ et à gauche en $s_{i+1}$ (ou ce qui revient au même si $f \vert_{]s_i,s_{i+1}[}$ se prolonge en une fonction continue sur $[s_i,s_{i+1}]$).
Si on a un intervalle $I$ quelconque, une fonction $f \colon I \to \mathbb R$ est continue par morceaux sur $I$ si sa restriction à n'importe quel segment de $I$ est continue par morceaux.
Comme c'est bien expliqué dans le document de Daniel Perrin que j'ai posté plus haut, les notions de limites pointées et épointées coïncident quand le point où on cherche la limite n'est pas dans l'ensemble de définition de la fonction, ce qui est le cas ici ($s_i$ et $s_{i+1}$ ne sont pas dans $]s_i,s_{i+1}[$).
Donc la fonction de Heaviside est continue par morceaux, quelque soit la définition de limite que l'on choisit.
A noter que la valeur de $f$ aux points $s_i$ n'a absolument aucune importance dans cette définition.
Tu as en haut ta définition de fonctions c.p.m et en bas la mienne.
Avec la limité pointé, ces deux définitions ne sont pas compatibles, tu es d'accord ou non
@Héhé je viens de te lire
Heaviside est définie par $H(x)=0$ si $x<0$ et $H(x)=1$ si $x\geq 0$,
sa limité à gauche n'existe pas selon le pointé
Les fonctions $H \vert_{]-\infty,0[}$ et $H \vert_{]0,+\infty[}$ admettent bien toutes les deux des limites finies en $0$, et ceci quelque soit la définition de limite.
$H$ est bien continue par morceaux.
La vraie définition est claire, et montre bien que $H$ est continue par morceaux.
Ça serait complètement idiot d'avoir une définition qui dépendrait du choix des valeurs de $f(s_i)$ (pour reprendre mes notations).
Pour le document de Daniel Perrin, je pense que je suis le premier qui l'a cité dans ce forum http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1198071,1198347#msg-1198347
Soient $X,Y$ deux espaces topologiques, $A$ une partie de $X$, $a$ un élément de $X$ adhérent à $A$, $\ell$ un élément de $Y$ et $f:A\to Y$ une application. On dit que "$f(x)$ tend vers $\ell$ quand $x$ tend vers $a$" si pour tout voisinage $W$ de $\ell$ dans $Y$, il existe un voisinage $V$ de $x$ dans $X$ tel que $f(V \cap A) \subseteq W$.
Cependant des pédagogistes (des pays occidentaux: les américains sont encore pires que nous à ce sujet) ayant très peu réfléchi et qui croyaient toucher la transcendance ont imaginé que "quand $a$ est adhérent à $A$, c'est que $a\notin A$ car le sens blabla et puis c'est intuitif, c'est ce que les élèves comprennent". Ce genre d'ânerie digne de "un carré n'est pas un rectangle" et autres "$(A \Rightarrow
[size=x-small](*) Soit $E$ un ensemble, $\mathfrak B$ une base de filtre sur $E$, $(F,\sigma)$ un espace topologique, $f:E\to F$ une application et $\ell \in F$. Soit $\omega \notin E$. On considère $\tau:= \mathcal P(E) \cup\left \{T \cup \{\omega\} \mid T \subseteq E \wedge \exists S \in \mathfrak B: S \subseteq T\right \}$. Alors $\tau$ est une topologie sur $E\cup \{\omega\}$ (ça recouvre $E$ parce que $\mathfrak B$ est non vide) pour laquelle $\omega$ est adhérent à $E$ (car aucun élément de $\mathfrak B$ n'est vide). En outre, $f(x)$ converge vers $\ell$ quand $x\in E$ tend vers $\omega$ si et seulement si, pour tout voisinage $V$ de $\ell$, il existe $C\in \mathfrak B$ tel que $f(C)\subseteq V$.[/size]
Gebrane, la définition (encadré jaune) est claire.
C’est bien la restriction à l’ouvert qui admet une limite.
Le « autrement dit » est dangereux et faux tel quel.
Le $f$ dont il parle est en fait le $f_{| \ ]a_i;a_{i+1}[}$.
C’est cette dernière fonction dont on demande d’avoir des limites à droite et à gauche.
Il est évident (hum...bon bref) que $f$ n’a pas de limite au point de discontinuité. Limite machin ou limite bidule... enfin...on peut trouver des exemples mais le message de ce « autrement dit » bousille tout.
Ça illustre parfaitement que le diable est dans les détails.
On peut utiliser une notation idoine pour dire de qui on parle.
$\lim \limits_{x \to a} f(x)$ pour la limite pointée.
$\lim \limits_{\begin{align}& x \to a \\ & x \neq a \end{align}} f(x)$ pour la limite épointée.
Ni dans un sens ni dans l’autre.
-- Schnoebelen, Philippe
Si $f\sim g$ en $a$ et limite de $g$ en $a$ existe et finie égale à $\ell$ alors $f$ admet une limite en $a$ égale $\ell$
Est-ce que cette propriété est compatible pour les limites pointés/épointés. Je crois qu'il y a un piège ! Qu'en dites-vous ? Soit $f(x)=x$ si $x\neq 0 $ et $f(0)=2$ on a $f\sim x$ en 0 (selon la définition http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1898510,1898910#msg-1898910 ) mais $x\mapsto x$ admet une limite en $0$ mais $f$ non.
J’ai un doute d’ailleurs.
soit $E$ un ensemble, $\mathfrak B$ une base de filtre sur $E$, $f,g: E\to \R$ des applications.
Alors $f$ et $g$ sont dites équivalentes (resp $f$ négligeable devant $g$; resp $f$ dominée par $g$) suivant $\mathfrak B$ s'il existe $\eta: E\to \R$ et $A\in \mathfrak B$ telle que $f(x) = \eta(x) g(x)$ pour tout $x\in A$ et $\eta$ tend vers $1$ suivant $\mathfrak B$ (resp tend vers 0; resp il existe $C\in \mathfrak B$ telle que la restriction de $\eta$ à $C$ est bornée).
Bavardage mode off
La limite au sens pointé est incompatible avec ce théorème. Toute fonction monotone sur un intervalle admet en tout point de cet intervalle une limite à gauche et une limite à droite