Intégrale de Lebesgue
Bonjour.
J'ai une ancienne élève en L3 math et elle m'a demandé de l'aide pour un exercice.
Je bloque un peu auriez-vous des idées ?
Soit $f$ de $[ab]$ dans $\mathbb{R}$ Lebesgue intégrale.
On doit montrer que pour tout $x \in [ab],\ F(x)=\int_{a}^{x} f(t)dt$ est continue.
J'ai montré que pour tout $x \in [ab],\ \int_{a}^{x} f(t)dt$ est Lebesgue intégrable.
et j'essaye de montrer que $\lim\limits_{h \to 0}(F(x+h)-F(x))=0,$ pour $h>0$.
Or j'arrive à $|F(x+h)-F(x)|\leq\int_{x}^{x+h} |f(t)|dt$ l'idée serait de majorer le module de $f$ mais rien ne garantit que $f$ est bornée.
Merci.
J'ai une ancienne élève en L3 math et elle m'a demandé de l'aide pour un exercice.
Je bloque un peu auriez-vous des idées ?
Soit $f$ de $[ab]$ dans $\mathbb{R}$ Lebesgue intégrale.
On doit montrer que pour tout $x \in [ab],\ F(x)=\int_{a}^{x} f(t)dt$ est continue.
J'ai montré que pour tout $x \in [ab],\ \int_{a}^{x} f(t)dt$ est Lebesgue intégrable.
et j'essaye de montrer que $\lim\limits_{h \to 0}(F(x+h)-F(x))=0,$ pour $h>0$.
Or j'arrive à $|F(x+h)-F(x)|\leq\int_{x}^{x+h} |f(t)|dt$ l'idée serait de majorer le module de $f$ mais rien ne garantit que $f$ est bornée.
Merci.
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Réponses
Puis tu peux appliquer le théorème de convergence dominée !
A+
F.
Concernant l'utilisation du TCVD de Lebesgue, il faut une suite de fonctions qui converge simplement vers f presque sûrement. Or je ne vois pas comment construire cette fameuse suite.
Merci.