Pour l'étude de fonction, j'ai juste fait graphiquement, mais tout a bien l'air concave, avec $f\big(\frac{1}{4}\big) = f(4) = 2$.
Je crois que pour $a\ge{1}$, les inégalités $\displaystyle\sum_{i=1}^n x_i \le a^6$ et $\displaystyle\sum_{i=1}^n x_i^2 \ge a^4$ donnent : $\sqrt{x_1}+(a^2-1) \cdot \sqrt{x_2} \ge a$.
@marsup : pas mal. Ce n’est pas évident de minorer $x_1,x_2$.
Pour le calcul final, on s’en sort sans complication :
On a $x_1\geq 1/4$ et $x_2\geq \sqrt{16-x_1^2\over 64-x_1}$ et donc $\sqrt{x_1}+3\sqrt{x_2}\geq 1/2+3 \sqrt{16-x_1^2\over 64-x_1} \geq 2$ équivalent à $4-x_1\leq 0.$
Pour $x_1-4\geq 0$, le résultat est évident.
Yves, ta logique me semble impénétrable, tu pourrais clarifier ?
(L'inégalité $1/2+3 \sqrt{16-x_1^2\over 64-x_1} \geq 2$ ne marche jamais pour $x_1>1/4$, sauf quand elle marche $4-x_1\le 0$ : (ce sont des valeurs interdites), et dans ce cas c'est évident ?)
Pour $n=2$, la deuxième condition donne que l'un au moins de $x_1,x_2$ est plus grand que 4 et on a fini.
Je crois que $x_1^2 + x_2^2 \ge 16$ donne seulement : $\max(x_1,x_2) \ge \sqrt{8}$.
Par chance $4 \cdot \sqrt{\sqrt{8}}\simeq 6.7 \ge 2$, et je crois aussi que $\forall x_1\in[0;4],\sqrt{x_1}+3\cdot\sqrt{\sqrt{16-x_1^2}} \ge 2$ (même chose : concavité de tout !)
Donc en effet, quand $n=2$, il n'y a pas besoin de la condition $\sum x_i \le 64$, qui est d'ailleurs automatique sur la sphère $\sum x_i^2 = 16$ tant que $n\le 256$. (Cauchy-Schwarz)
D'ailleurs Cidrolin aurait pu poser la colle suivante : pour $n\le256$ et $x_1\ge x_2 \ge \dots \ge x_n\ge0$, il suffit d'avoir $\sum x_i^2 \ge 16$, pour garantir $\sqrt{x_{1}}+3\sqrt{x_2} \ge 2$. (Corollaire de la sienne + Cauchy-Schwarz)
J'ai un peu modifié l'énoncé d'un problème d' Hillel Gauchman (décédé à 78 ans en 2016) dans le American Mathematical Monthly, vol 112, Mai 2005, page 468.
Réponses
De même, $\displaystyle\sum_{i=2}^n x_i^2 \le x_2 \cdot \sum_{i=2}^n x_i$, donc $x_2 \ge \frac{16-x_1^2}{64-x_1}$.
Si $x_1>4$, on avait terminé avant de commencer.
Sinon $\frac{1}{4} \le x_1 \le 4$, et on a :
$$\sqrt{x_1}+3\cdot\sqrt{x_2} \ge
\sqrt{x_1} + 3 \cdot \sqrt
\frac{16-x_1^2}{64-x_1}
= f(x_1).
$$
Ainsi, $f(x_1) \ge \min\limits_{[\frac{1}{4};4]}f$.
Pour l'étude de fonction, j'ai juste fait graphiquement, mais tout a bien l'air concave, avec $f\big(\frac{1}{4}\big) = f(4) = 2$.
Je crois que pour $a\ge{1}$, les inégalités $\displaystyle\sum_{i=1}^n x_i \le a^6$ et $\displaystyle\sum_{i=1}^n x_i^2 \ge a^4$ donnent : $\sqrt{x_1}+(a^2-1) \cdot \sqrt{x_2} \ge a$.
@marsup : pas mal. Ce n’est pas évident de minorer $x_1,x_2$.
Pour le calcul final, on s’en sort sans complication :
On a $x_1\geq 1/4$ et $x_2\geq \sqrt{16-x_1^2\over 64-x_1}$ et donc $\sqrt{x_1}+3\sqrt{x_2}\geq 1/2+3 \sqrt{16-x_1^2\over 64-x_1} \geq 2$ équivalent à $4-x_1\leq 0.$
Pour $x_1-4\geq 0$, le résultat est évident.
Ajout :
Il manque le cas $x_1\leq 4$...
(L'inégalité $1/2+3 \sqrt{16-x_1^2\over 64-x_1} \geq 2$ ne marche jamais pour $x_1>1/4$, sauf quand elle marche $4-x_1\le 0$ : (ce sont des valeurs interdites), et dans ce cas c'est évident ?)
Je crois que $x_1^2 + x_2^2 \ge 16$ donne seulement : $\max(x_1,x_2) \ge \sqrt{8}$.
Par chance $4 \cdot \sqrt{\sqrt{8}}\simeq 6.7 \ge 2$, et je crois aussi que $\forall x_1\in[0;4],\sqrt{x_1}+3\cdot\sqrt{\sqrt{16-x_1^2}} \ge 2$ (même chose : concavité de tout !)
Donc en effet, quand $n=2$, il n'y a pas besoin de la condition $\sum x_i \le 64$, qui est d'ailleurs automatique sur la sphère $\sum x_i^2 = 16$ tant que $n\le 256$. (Cauchy-Schwarz)
D'ailleurs Cidrolin aurait pu poser la colle suivante : pour $n\le256$ et $x_1\ge x_2 \ge \dots \ge x_n\ge0$, il suffit d'avoir $\sum x_i^2 \ge 16$, pour garantir $\sqrt{x_{1}}+3\sqrt{x_2} \ge 2$. (Corollaire de la sienne + Cauchy-Schwarz)
On a : $16\leq x_1^2 +\displaystyle \sum _2 ^n x_i^2 \leq x_1^2+x_2\displaystyle \sum _2 ^n x_i$
Soit $\quad 16\leq x_1^2 +x_2(64-x_1) =x_1(x_1-x_2) +64 x_2$,
ou encore $16 \leq 4(x_1-x_2)+64 x_2 $, donc en simplifiant par $4$ : $\quad 4\leq x_1+15x_2$,
or $\quad (\sqrt {x_1} +3 \sqrt{x_2})^2 =x_1+9x_2+6\sqrt{x_1x_2} \geq x_1+9x_2+6x_2=x_1+15x_2 \geq 4$
@cidrolin quel est la source de cet exo?