Voisinage équivalent

Moi je trouve aussi qu’exclure $0$ est bizarre.
En effet, c’est pour utiliser la caractérisation des équivalents par le quotient. Enfin, je le vois que cela...

Reprenons. Dans ce qui suit, les fonctions sont définies en $0$.
Soit $n$ une fonction négative (ou nulle, « négative au sens large »).
Soit $f$ tel que $f\sim_0 n$.
Cela signifie qu’il existe une fonction $\varepsilon$ qui tend vers $0$ en $0$ telle que sur un voisinage $V$ de $0$ :
Pour tout $x$ dans $V$ : $f(x)=n(x)(1+\varepsilon (x))$.

On n’a pas trop de mal à montrer que $f$ est négative sur $V$.

Le problème se pose quand en $0$ l’une des fonctions n’est pas définie.

C’est possible.
L’auteur du bouquin a aussi voulu illustrer autre chose. On n’est pas dans sa tête.

Si je prend la fonction $f \colon \R \to \R$ telle que $f(x) = -2x^2+x^3$ si $x \neq 0$ et $f(0) = 10000$, j'ai bien
$$f(x) \underset{x \to 0}{\sim}-2x^2$$
mais je n'ai pas $f(x) \leq 0$ sur un voisinage de 0.

Par contre c'est vrai sur un voisinage épointé de 0.

Soient $f$ et $g$ deux fonctions définies sur $D \subset \R$ et soit $a$ un point adhérent à $D$ (éventuellement $a = \pm \infty$).

On dit que $f$ et $g$ sont équivalents en $a$, et on note $ \displaystyle f(x) \underset{x \to a}{\sim} g(x)$ s'il existe une fonction $\varepsilon$ définie sur un voisinage $V$ de $a$ telle que $\varepsilon$ tende vers 0 en $a$ et
$$\forall x \in (V \cap D) \setminus \{a\},\quad f(x) = g(x)[1+\varepsilon(x)].$$

Le passage photocopié montre que l’auteur veut appliquer un théorèmes.
Ainsi, pour l’appliquer, il se met dans les conditions idoines.

Bonjour Héhé, tu donnes une version (ton théorème) non enseignée en cours.
Ce qu'on m'a enseigné, c'est que les équivalents permettent de démontrer l'existence d'une limite et la calculer.
C'est-à-dire si $f\sim_{a} g $ et si $g$ admet une limite $\ell\in\R$ en $a $, alors la limite de $f$ en $a$ existe et égale à $\ell$.