J'imagine que ton $\circ$ symbolise ici la multiplication ponctuelle des fonctions (car sinon, tu es mal barré! ^^)
Il y a une inclusion facile...
L'autre découle de la définition d'être une application linéaire bornée et ensuite d'un bon choix de fonctions...
Si tu nous disais slav, ce que tu as réussi à faire, et où tu coinces, parce que là, on parle dans le vide.
Sinon, je crois que pour l'inclusion réciproque, BobbyJoe pense à une fonction de la forme $h = 1_{|f|>|||\varphi|||}$. (norme triple de $\varphi$ supposée bornée)
$L^\infty(X)$ [est] inclus dans ton espace $M$ (espace des multiplicateurs).
Je te démontre le sens trivial et laisse à marsup l'autre sens :-D
Si $F\in L^{\infty}(X)$ par définition $\varphi_F(h) =F.h,\ \forall h\in L^2(X)$
On a $\forall h\in L^2(X)$, $\ ||\varphi_F(h)||_{L^2}^2=\int |F.h|^2 d\mu\leq ||F||^2_{\infty} \int |h|^2 d\mu\leq ||F||^2_{\infty}.||h||^2_{L^2}$ ce qui montre que $\varphi_F$ dans $B( L^2(X)$,
Pour l'autre sens, tu suppose que $\phi_f$ est $k$ lipschitzienne.
$\|\phi_f(h)\| = \|f \cdot h\|_2 \le k \cdot \|h\|_2$.
On regarde ce qui se passe pour $h:x\mapsto h(x)=
\left\{
\begin{array}{cl}
1 & \text{si } |f(x)| \ge k+1 \\
0 & \text{sinon.}
\end{array}
\right.
$
Alors $\|h\|_2^2 = \lambda\{x\in X, \text{ tq } |f(x)| \ge k+1\}$. (mesure de l'ensemble.)
et $\|f \cdot h\|_2^2 = \int_X f^2(x) \cdot h^2(x) dx$.
On peut alors minorer (au lieu de majorer !) $\|f \cdot h\|_2^2$ en fonction de $k+1$, car cette fonction est non-nulle là où $|f|\ge k+1$, et qu'elle y vaut $f^2$.
La conclusion sera donc que la mesure donnée ci-dessus vaut 0.
Ainsi, sur $X$ on a $|f| < k+1$. (donc $f$ essentiellement bornée.)
est finie et non-nulle, si ce n'est pas le cas il suffit de prendre un sous-ensemble de mesure finie non-nulle.
(si il n'existe pas de sous-ensemble de mesure finie non-nulle alors toutes les fonctions $L^2(X)$ sont nulles sur cet ensemble donc on peut le virer de $X$)
marsup, est-ce que tu supposes dans ta preuve que la mesure est $\sigma$-finie.
Un prof m'a dit que ce qu'on vient de dire est faux, il parait qu'il y a un contre-exemple (que je dois trouver).
Marsup sous-entendait que la mesure $\lambda$ est $\sigma$-finie (il suffit d'appliquer son raisonnement à une exhaustion de $X$ par des parties de mesures finies).
Sinon oui, il y a des contre-exemples (comme toujours... mais c'est un mauvais cadre pour faire de l'analyse dans les $L^{p}$).
@BobbyJoe
C'est écrit dans sa question que X est un espace mesuré quelconque.
@marsup
Ma méthode est une tricherie :-D( faute de contre exemple, je suppose aussi que la mesure est $\sigma$ finie), ici on a une mauvaise dualité. Pour se ramener à la bonne dualité $L^1$ , $L^\infty$,
.
On part de $||fh||_2\le c||h||_2$ pour tout $h\in L^2$ qu'on peut récrire
$||f^2h^2||_1\le c||h^2||_1$ pour tout $h\in L^2$ Autrement dit
$||f^2\text{h}||_1\le c||\text{h}||_1$ pour tout $\text{h}\in L^1$
si la mesure est $\sigma$ finie (edithttps://fr.wikipedia.org/wiki/Espace_Lp)on a le dual de $L^1$ est $L^\infty$ d'où $f^2\in L^\infty$ d'où $f\in L^\infty$
J'ai ajouté un lien wiki
Je ne comprends pas ta deuxième question on part d'une fonction mesurable f vérifiant la première inégalité que j'avais donnée.
Ok pour la première question sur la dualité mais pour la seconde quelle est cette minoration ? Pour la norme de f.h ? et pourquoi la mesure de l'ensemble vaudra 0 ?
Réponses
Il y a une inclusion facile...
L'autre découle de la définition d'être une application linéaire bornée et ensuite d'un bon choix de fonctions...
Si $F$ est définie sur l’espace mesuré $X$ et $h$ est dans $L^2(X)$, qu’est-ce que $F\circ h$ ?
Sinon, je crois que pour l'inclusion réciproque, BobbyJoe pense à une fonction de la forme $h = 1_{|f|>|||\varphi|||}$. (norme triple de $\varphi$ supposée bornée)
Avec une composition, ce ne serait pas du tout linéaire, et en plus, il faudrait avoir $f:\R\to\R$, au lieu de $f:X\to\R$.
Je te démontre le sens trivial et laisse à marsup l'autre sens :-D
Si $F\in L^{\infty}(X)$ par définition $\varphi_F(h) =F.h,\ \forall h\in L^2(X)$
On a $\forall h\in L^2(X)$, $\ ||\varphi_F(h)||_{L^2}^2=\int |F.h|^2 d\mu\leq ||F||^2_{\infty} \int |h|^2 d\mu\leq ||F||^2_{\infty}.||h||^2_{L^2}$ ce qui montre que $\varphi_F$ dans $B( L^2(X)$,
Pour l'autre sens, tu suppose que $\phi_f$ est $k$ lipschitzienne.
$\|\phi_f(h)\| = \|f \cdot h\|_2 \le k \cdot \|h\|_2$.
On regarde ce qui se passe pour $h:x\mapsto h(x)=
\left\{
\begin{array}{cl}
1 & \text{si } |f(x)| \ge k+1 \\
0 & \text{sinon.}
\end{array}
\right.
$
Alors $\|h\|_2^2 = \lambda\{x\in X, \text{ tq } |f(x)| \ge k+1\}$. (mesure de l'ensemble.)
et $\|f \cdot h\|_2^2 = \int_X f^2(x) \cdot h^2(x) dx$.
On peut alors minorer (au lieu de majorer !) $\|f \cdot h\|_2^2$ en fonction de $k+1$, car cette fonction est non-nulle là où $|f|\ge k+1$, et qu'elle y vaut $f^2$.
La conclusion sera donc que la mesure donnée ci-dessus vaut 0.
Ainsi, sur $X$ on a $|f| < k+1$. (donc $f$ essentiellement bornée.)
je ne vois pas pourquoi ton h est dans L^2 avant de continuer tes calculs
$\lambda\{x\in X, \text{ tq } |f(x)| \ge k+1\}$
est finie et non-nulle, si ce n'est pas le cas il suffit de prendre un sous-ensemble de mesure finie non-nulle.
(si il n'existe pas de sous-ensemble de mesure finie non-nulle alors toutes les fonctions $L^2(X)$ sont nulles sur cet ensemble donc on peut le virer de $X$)
C'est un peu ironique de devoir se préoccuper du caractère $L^2$ de $h$, puisqu'au bout du compte, elle vaudra 0.
Bobyyjoe stp peut-on savoir ta méthode.
Tu nous montres ta démonstration, gebrane ?
Un prof m'a dit que ce qu'on vient de dire est faux, il parait qu'il y a un contre-exemple (que je dois trouver).
Sinon oui, il y a des contre-exemples (comme toujours... mais c'est un mauvais cadre pour faire de l'analyse dans les $L^{p}$).
C'est écrit dans sa question que X est un espace mesuré quelconque.
@marsup
Ma méthode est une tricherie :-D( faute de contre exemple, je suppose aussi que la mesure est $\sigma$ finie), ici on a une mauvaise dualité. Pour se ramener à la bonne dualité $L^1$ , $L^\infty$,
.
On part de $||fh||_2\le c||h||_2$ pour tout $h\in L^2$ qu'on peut récrire
$||f^2h^2||_1\le c||h^2||_1$ pour tout $h\in L^2$ Autrement dit
$||f^2\text{h}||_1\le c||\text{h}||_1$ pour tout $\text{h}\in L^1$
si la mesure est $\sigma$ finie (edit https://fr.wikipedia.org/wiki/Espace_Lp)on a le dual de $L^1$ est $L^\infty$ d'où $f^2\in L^\infty$ d'où $f\in L^\infty$
Pour ma culture, est ce que quelqu'un peut nous donner un contre-exemple dans un espace mesuré quelconque ?
On a $L^2(X) = \{0\}$ (aucune fonction non-nulle n'est $L^2$), mais $L^\infty(X) = \ell^\infty(\N)$.
Pourtant, pour toute fonction $f:\N\to\R$ (même non bornée !), l'endomorphisme $\Phi_f:h \mapsto f \cdot h$ est continu sur $L^2(X)$.
Je me suis penché sur tes réponses mais j'ai des interrogations:
Je ne comprends pas ta deuxième question on part d'une fonction mesurable f vérifiant la première inégalité que j'avais donnée.
Je regarde demain.
Pour ma 2eme question, je la précise.
Merci pour ton aide.
[Contenu du pdf joint. AD]
Qu'est ce que tu n'as pas compris dans mon raisonnement ?