Majoration d'une suite simple.

Bonjour.

Calcule $u_n-u_{n+1}$ et son signe; puis regarde $u_1$.

Cordialement.

Ce genre de somme peut être traitée par des méthodes de comparaison sommes-intégrales.

Au niveau d'une terminale S, encadrer l'aire entre les habituels rectangles donne, pour tout $n \in \mathbb{N}^*$
$$\int_1^n \frac{\textrm{d}t}{n+t} + \frac{1}{2n} \leqslant u_n \leqslant \int_1^n \frac{\textrm{d}t}{n+t} + \frac{1}{n+1}$$
soit
$$\ln 2 - \ln \left( 1 + \frac{1}{n} \right) + \frac{1}{2n} \leqslant u_n \leqslant \ln 2 - \ln \left( 1 + \frac{1}{n} \right) + \frac{1}{n+1}$$
ce qui répond largement à la question, au moins dès que $n$ est suffisamment grand.

À un niveau plus élevé (disons Bac + 2), on peut envisager la suite de cette technique élémentaire, que sont les méthodes de sommation d'Euler, puis d'Euler-Maclaurin.

Mais tout ceci appartient au même cadre.

$N\geq 2,n\geq 1$ entier.
\begin{align}S(n)&=\sum_{k=1}^n\frac{1}{(n+k)}\\
S(n+1)&=S(n)-\frac{1}{n+1}+\frac{1}{2n+1}+\frac{1}{2n+2}\\
&=S(n)+\frac{1}{(2n+2)(2n+1)}\\
S(n+1)-S(n)&=\frac{1}{(2n+2)(2n+1)}\\
\sum_{n=1}^{N-1}(S(n+1)-S(n))&=S(N)-S(1)\\
&=S(N)-\frac{1}{2}\\
&=\sum_{n=1}^{N-1} \frac{1}{(2n+1)(2n+2)}\\
&\leq \sum_{n=1}^{N-1} \frac{1}{2n(2n+2)}\\
&\leq \frac{1}{4}\sum_{n=1}^{N-1} \frac{1}{n(n+1)}\\
\end{align}

Il est bien connu que $\displaystyle \sum_{n=1}^{N-1} \frac{1}{n(n+1)}=\frac{N-1}{N}$
puisque $\displaystyle \frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$
Donc:
\begin{align}S(N)-\frac{1}{2}&\leq \frac{1}{4}\frac{N-1}{N}\\
&\leq \frac{1}{4}\\
S(N)&\leq \frac{1}{4}+\frac{1}{2}\\
&\leq \frac{3}{4}\\
S(1)&=\frac{1}{2}\\
&\leq \frac{3}{4}\\
\end{align}