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Celmar2Ceaumar
Celmar2Ceaumar
dans Analyse
Bonsoir,

je ne comprends pas pourquoi la fonction F peut-être vu comme un élément de L1_loc. On sait tous que la fonction logarithme n'est pas intégrable sur tout voisinage de 0 ...

Merci93328

Réponses

  • YvesM
    YvesM
    Bonjour,

    $x \ln x-x \to 0,(x\to 0^+)$, non ?
  • marsup
    marsup
    Ah ça a changé, c'est embêtant, car justement, ce matin j'ai mis dans le cours de mes élèves que $\int_0^1 \ln(t) dt = -1$.
    la fonction logarithme n'est pas intégrable sur tout voisinage de 0

    sur tout voisinage, non (pas sur $\R$ ou $\R_+$), mais sur les voisinages bornés, si.
  • Sinusix
    Sinusix
    Ln n'est définie sur aucun voisinage de 0.
  • Tryss
    Tryss
    Les fonctions de $L^1_{loc}$ sont définies presque partout, donc le "problème" en 0 n'est pas un problème
  • side
    side
    supp
  • Celmar2Ceaumar
    Celmar2Ceaumar
    Merci beaucoup pour vos réponses. Mais alors que dois-je retenir s'il vous plait ? $\ln \left( \left| x \right| \right)\in L_{loc}^{1}\left( R \right)$?
  • reuns
    reuns
    Oui. Si Yves a mentionné $x-x\ln x$ c'est parce que c'est la primitive de $-\ln x$.

    $\ln| x|$ est $L^1_{loc}$ parce que $$\int_0^1 |\ln |x||dx=-\int_0^1 \ln xdx = 1$$
    On peut aussi dire que $|\ln| x|| \le |x|^{-a}$ qui est $L^1_{loc}$ pour $a < 1$.
  • Celmar2Ceaumar
    Celmar2Ceaumar
    Super merci reuns
  • seb78
    seb78
    @side.
    La fonction $x \mapsto 1/x $ n'est pas $L^1 _{loc}(\R)$ mais cela n'a pas de rapport avec le fait que $1/x$ n'est pas défini en $0$ mais plutôt avec le fait que sa primitive n'a pas de limite finie en $0^+$.
  • side
    side
    supp
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