Pour toute fonction $f$ de $D_f$ dans $\mathbb R$, pour toute suite $(x_n)$ (indexée par $\mathbb N$) à valeurs dans $D_f$, (et là on colle ton implication).
Mais ai-je répondu à ta demande finalement ?
Remarque : une coquille dans ton implication, non ?
A moins qu’on se fiche du fond ? Qu’on se fiche que ce soit vrai ou faux ?
B<0 et A>0 ne servent à rien dans les définitions. Ce sont simplement des réels (ne pas confondre l'idée intuitive avec sa réalisation mathématique épurée).
Tu veux traduire ton implication initiale et tu sais traduire chacun des deux membre, c'est difficile de remplacer ?????
Cordialement.
NB : Ton implication initiale (si c'est $\forall x_n$) est équivalente à une propriété simple de f.
Remarque : j’ai interprété deux quantificateurs universels (deux « pour tout »).
C’est le danger de l’implicite dénoncé d’ailleurs assez souvent.
Là c’est moi qui suis « fautif » sur le coup.
En complément de ma correction du NB, j'ai considéré que f était fixée, et que les suites sont variables. Si c'est une fonction f donnée et une suite x donnée, alors l'implication est vraie ou fausse suivant les cas (par exemple si la suite x ne tend pas vers $-\infty$).
(avec la bizarrerie du premier "pour tout" : je pense signifiant "pour toute suite prenant ses valeurs dans $D_f$)
Bref quelqu'un voulait montrer que la définition séquentielle des limites marchait pour les limites infinies (autant celle de la variable que celle de la fonction) et il a déjà eu la réponse.
La contraposée est quasiment "évidente".
Si $f$ ne tend pas vers $+\infty$ en $-\infty$, alors il existe une suite qui tend vers $-\infty$ dont l'image par $f$ ne tend pas vers $+\infty$.
Bien entendu, mon "évidente" n'est pas un argument valable.
Mais cette suite se construit avec les définitions de limite, en les niant.
Réponses
Mais ai-je répondu à ta demande finalement ?
Remarque : une coquille dans ton implication, non ?
A moins qu’on se fiche du fond ? Qu’on se fiche que ce soit vrai ou faux ?
\forall (x_n)\subset D_f,\ \lim_{n\to +\infty} x_n =-\infty \Rightarrow \lim_{n\to +\infty} f(x_n)=+\infty
$$ $$
x_n\to -\infty\Longleftrightarrow \forall B<0,\ \exists n_0,\ \forall n\in \mathbb{N},\ n\geq n_0\Rightarrow x_n <B
$$ et $$
f(x_n)\to +\infty\Longleftrightarrow \forall A>0,\ \exists n_0,\ \forall n\in \mathbb{N},\ n\geq n_0\Rightarrow f(x_n )>A .
$$ Est-ce que je peux dire que l'implication est équivalente à $$
\forall A>0,\ \exists n_0,\ \forall n\in \mathbb{N},\ n\geq n_0\Rightarrow x_n<B \Rightarrow f(x_n )>A $$
B<0 et A>0 ne servent à rien dans les définitions. Ce sont simplement des réels (ne pas confondre l'idée intuitive avec sa réalisation mathématique épurée).
Tu veux traduire ton implication initiale et tu sais traduire chacun des deux membre, c'est difficile de remplacer ?????
Cordialement.
NB : Ton implication initiale (si c'est $\forall x_n$) est équivalente à une propriété simple de f.
C’est le danger de l’implicite dénoncé d’ailleurs assez souvent.
Là c’est moi qui suis « fautif » sur le coup.
je souhaite démontrer que 1) implique 2), ou $f$ est fonction réelle
1) $\forall (x_n)\subset D_f, [ \lim_{n\to \infty} x_n=-\infty\Rightarrow \lim_{n\to\infty} f(x_n)=+\infty]$
2) $\lim_{x\to -\infty} f(x)=+\infty$
(avec la bizarrerie du premier "pour tout" : je pense signifiant "pour toute suite prenant ses valeurs dans $D_f$)
Bref quelqu'un voulait montrer que la définition séquentielle des limites marchait pour les limites infinies (autant celle de la variable que celle de la fonction) et il a déjà eu la réponse.
Si $f$ ne tend pas vers $+\infty$ en $-\infty$, alors il existe une suite qui tend vers $-\infty$ dont l'image par $f$ ne tend pas vers $+\infty$.
Bien entendu, mon "évidente" n'est pas un argument valable.
Mais cette suite se construit avec les définitions de limite, en les niant.
Tu ne peux pas car ça en modifierait le sens.