Intégrabilité d'une fonction

Bonjour
Je dois étudier l'intégrabilité de la fonction suivante sur l'intervalle $]0;1[$ : $$

g : x \longmapsto\dfrac{\sqrt{|\ln(x)|}}{(x-1)\sqrt{x}}.

$$ Je pense avoir compris l'idée mais j'ai une rédaction qui n'est pas la plus précise possible. Pouvez-vous me dire ce que vous en pensez ? D'avance merci.

1 - La fonction $g$ est bien définie sur cet intervalle. Elle y est continue.
2 - Les problèmes d'intégrabilité se posent donc au voisinage de $0^+$ et $1^-$.
3 - Au voisinage de $0^+$
Comme $\lim_{x\to 0} x-1 = -1$ alors : $$

g(x)\sim_{0^+}-\dfrac{\sqrt{|\ln(x)|}}{\sqrt{x}}=-x^{-\frac{1}{2}}|\ln(x)|^{\frac{1}{2}}.

$$ Je déduis que : $$

x^{\frac{3}{4}}g(x)\sim_{0^+}-x^{\frac{1}{4}}|\ln(x)|^{\frac{1}{2}}.

$$ Or $\lim_{x\to 0} -x^{\frac{1}{4}}|\ln(x)|^{\frac{1}{2}} = 0$ par le théorème des croissances comparées (puisque $\frac{1}{4}>0$) et donc : $$g(x)=o_{0^+}\Big(\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}\Big).

$$ La fonction $x\mapsto\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$ est intégrable au voisinage de $0^+$ : c'est une intégrale de Riemann avec $\frac{1}{4}<1$.
Le théorème de comparaison permet de conclure que $g$ est intégrable.

Qu'en pensez-vous ?
Est-ce exact ?
Est-ce une bonne rédaction ?
Merci encore.
Je ferai le voisinage de $1^- $ ensuite.