Intégrabilité d'une fonction
Bonjour
Je dois étudier l'intégrabilité de la fonction suivante sur l'intervalle $]0;1[$ : $$
g : x \longmapsto\dfrac{\sqrt{|\ln(x)|}}{(x-1)\sqrt{x}}.
$$ Je pense avoir compris l'idée mais j'ai une rédaction qui n'est pas la plus précise possible. Pouvez-vous me dire ce que vous en pensez ? D'avance merci.
1 - La fonction $g$ est bien définie sur cet intervalle. Elle y est continue.
2 - Les problèmes d'intégrabilité se posent donc au voisinage de $0^+$ et $1^-$.
3 - Au voisinage de $0^+$
Comme $\lim_{x\to 0} x-1 = -1$ alors : $$
g(x)\sim_{0^+}-\dfrac{\sqrt{|\ln(x)|}}{\sqrt{x}}=-x^{-\frac{1}{2}}|\ln(x)|^{\frac{1}{2}}.
$$ Je déduis que : $$
x^{\frac{3}{4}}g(x)\sim_{0^+}-x^{\frac{1}{4}}|\ln(x)|^{\frac{1}{2}}.
$$ Or $\lim_{x\to 0} -x^{\frac{1}{4}}|\ln(x)|^{\frac{1}{2}} = 0$ par le théorème des croissances comparées (puisque $\frac{1}{4}>0$) et donc : $$g(x)=o_{0^+}\Big(\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}\Big).
$$ La fonction $x\mapsto\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$ est intégrable au voisinage de $0^+$ : c'est une intégrale de Riemann avec $\frac{1}{4}<1$.
Le théorème de comparaison permet de conclure que $g$ est intégrable.
Qu'en pensez-vous ?
Est-ce exact ?
Est-ce une bonne rédaction ?
Merci encore.
Je ferai le voisinage de $1^- $ ensuite.
Je dois étudier l'intégrabilité de la fonction suivante sur l'intervalle $]0;1[$ : $$
g : x \longmapsto\dfrac{\sqrt{|\ln(x)|}}{(x-1)\sqrt{x}}.
$$ Je pense avoir compris l'idée mais j'ai une rédaction qui n'est pas la plus précise possible. Pouvez-vous me dire ce que vous en pensez ? D'avance merci.
1 - La fonction $g$ est bien définie sur cet intervalle. Elle y est continue.
2 - Les problèmes d'intégrabilité se posent donc au voisinage de $0^+$ et $1^-$.
3 - Au voisinage de $0^+$
Comme $\lim_{x\to 0} x-1 = -1$ alors : $$
g(x)\sim_{0^+}-\dfrac{\sqrt{|\ln(x)|}}{\sqrt{x}}=-x^{-\frac{1}{2}}|\ln(x)|^{\frac{1}{2}}.
$$ Je déduis que : $$
x^{\frac{3}{4}}g(x)\sim_{0^+}-x^{\frac{1}{4}}|\ln(x)|^{\frac{1}{2}}.
$$ Or $\lim_{x\to 0} -x^{\frac{1}{4}}|\ln(x)|^{\frac{1}{2}} = 0$ par le théorème des croissances comparées (puisque $\frac{1}{4}>0$) et donc : $$g(x)=o_{0^+}\Big(\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}\Big).
$$ La fonction $x\mapsto\frac{1}{x^{\frac{1}{4}}}$ est intégrable au voisinage de $0^+$ : c'est une intégrale de Riemann avec $\frac{1}{4}<1$.
Le théorème de comparaison permet de conclure que $g$ est intégrable.
Qu'en pensez-vous ?
Est-ce exact ?
Est-ce une bonne rédaction ?
Merci encore.
Je ferai le voisinage de $1^- $ ensuite.
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Réponses
Pourquoi ?
Les critères de comparaison pour conclure à l'intégrabilité/sommabilité nécessitent souvent le signe constant.
http://www.bibmath.net/formulaire/index.php?action=affiche&quoi=intimpropres
Mais ici, g n'est pas positive.
Je ne comprends pas l'argument : g est constant. Ou alors il y a un autre théorème ?
Contrairement la comparaison par équivalence, la comparaison par domination ne nécessite pas que la fonction \(g\) soit de signe constant.
On a $\lim_{x\to 1^-} \sqrt{x}=1$ et $\ln(x)\sim_{x\to 1^-}x-1$.
Par conséquent : $g(x)=\dfrac{\sqrt{|\ln(x)|}}{(x-1)\sqrt{x}})\sim_{x\to 1^-}\dfrac{\sqrt{|x-1|}}{x-1})$.
Comme $0<x<1$ alors $|x-1|=1-x$ et donc :$g(x)\sim_{x\to 1^-}-\dfrac{\sqrt{1-x}}{1-x})=-\dfrac{1}{\sqrt{1-x}}=-\dfrac{1}{(1-x)^{\frac{1}{2}}}$.
La fonction $x\mapsto -\dfrac{1}{(1-x)^{\frac{1}{2}}}$ est intégrable au voisinage de $1^-$ car elle est de même nature que la fonction $x\mapsto -\dfrac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ au voisinage de $0$. Cette dernière est une intégrale de Riemann avec $\frac{1}{2}<1$.
Puisque $g$ est de signe, le théorème de comparaison permet de conclure à l'intégrabilité au voisinage de $1^-$.
"Ils vont permettre de ramener l'étude de la convergence d'une intégrale impropre à l'étude de la convergence d'une intégrale impropre plus simple (ou que l'on connait déjà, comme les intégrales de Riemann), dans le cas où les fonctions sont positives au voisinage de b (ou ont toujours le même signe)."
Pourtant dans l'énoncé du théorème mis en lien sur mon post précédent, il est bien dit que f et g sont à valeurs dans $[0;+\infty[$. Est-ce une erreur dans l'énoncé du théorème ?
Non, ce n'est pas une erreur, c'est juste que le cas où $f$ et $g$ sont à valeurs négatives se déduit de façon évidente du cas positif.
La personne qui a rédigé le cours à sans doute estimé que la remarque au-dessus suffisait pour comprendre qu'on pouvait également utiliser le théorème dans cet autre cas.
Donc pour conclure, je peux écrire, en posant $h:x\mapsto \dfrac{\sqrt{|x-1|}}{x-1}$ que :
Puisque $g$ et $h$ sont des fonctions négatives toutes les deux et que $h$ est intégrable au voisinage de $1^-$ alors le théorème de comparaison s'applique et assure que $g$ l'est aussi au voisinage de $1^-$.
Ìl suffit que l'une des fonctions \(g\) ou \(h\) soit de signe constant au voisinage de 1 ; l'autre a alors le même signe constant au voisinage de 1.