Discontinuité fonction monotone

Salut,

J'ai rédigé un truc dont je ne suis pas sûr, tout ça a cause de l'ensemble sur lequel est définie l'application.

Soient $I$ un intervalle de $\mathbf R$ et $f:I\longrightarrow\mathbf R$ croissante (on obtient le cas décroissante en considérant $-f$). On note $D$ l'ensemble de ses points de discontinuités. Comme la notion de limite à gauche ou à droite peut ne pas avoir de sens en dehors de l'intérieur de $I$, voilà comment je procède.

On note $D'=\{x\in\mathring{I}\mid f(x^{-})<f(x^{+})\}$ qui est l'ensemble des points de discontinuité de $f$ auquel on enlève éventuellement les extrémités (qui sont en nombre fini). Il suffit donc de montrer la dénombrabilité de $D'$ pour obtenir celle de $D$.

Comme $\mathbf Q$ est dense dans $\mathbf R$, pour tout $x\in\mathring{I}$, on choisit (axiome du choix) un $r_x\in\, ]f(x^{-}),f(x^{+})[$.

Comme $\mathbf Q$ est dénombrable, il reste à montrer que $D'\rightarrow\mathbf Q,\ x\mapsto r_x$ est injective. Soit $(x,y)\in D'^2$ tel que $x\neq y$, par exemple $x<y$. Par croissance de $f$, on a donc $f(x)\leq f(y)$ donc $r_x<f(x^{+})\leq f(y^{-})<r_y$ donc $r_x\neq r_y$.

1) Est-ce que cette démonstration est bonne ?
2) Peut-on généraliser à une application (toujours croissante) définie sur une partie quelconque $X$ de $\mathbf R$ ?

Edit : pardon je me rends compte que je ne suis pas dans le forum analyse...
[J'ai déplacé en "Analyse". :-) AD]