Étude d'une suite

Pour la 1b) c'est juste, la suite est décroissante mais il faut le prouver.

Pour la 1c) ta calculatrice dit juste.

Pour la 2b) il faut rédiger proprement ta récurrence car là on ne comprend pas grand chose. Il faut dire quelle est l'hypothèse de récurrence, vérifier cette hypothèse pour le premier terme etc.

Pour la 2c) c'est bien 0.99

Pour la 2d) tu as déjà calculé $S_{99}$ à la 2c) (et tu as trouvé 0.99), essaie de calculer $S_{100}$ et $S_{101}$ pour voir.

Pour la 2b) tu peux t'en sortir sans la récurrence, en constatant que tu as affaire à une somme télescopique.

C'est au programme le "téléscopage" ? X:-(

Pour la 2d) il y a bien une limite, en effet à la question 2b) tu as montré (pas encore en fait (:P)) que pour tout $p \geq 1$, $\displaystyle S_p=1-\frac{1}{p+1}$.

Donc si je prends $p=99$ j'obtiens $\displaystyle S_{99}=1-\frac{1}{100}$ donc un moins un centième.

Si je prends $p=999$ j'obtiens $\displaystyle S_{999}=1-\frac{1}{1000}$ donc un moins un millième.

Si je prends $p=9999$ j'obtiens $\displaystyle S_{9999}=1-\frac{1}{10000}$ donc un moins un dix-millième.

...

tu arrives à deviner la limite maintenant ?

(td)

:-(

Ça ne sert à rien de tenter des réponses au hasard. Est-ce que tu sais calculer la limite de $\frac{1}{n}$ quand $n$ tend vers $+\infty$ ?

La réponse à ma question est donc non. Je t'invite à relire la définition d'une limite de suite ! Si tu n'en as pas vraiment dans ton cours, la valeur de cette limite doit au moins être donnée.

Difficile de faire ton exercice découverte si tu n'as pas la notion de "suite".

@alexia22 : je suis en train de te dire que ta suite s'écrit comme une constante (plus précisément, $1$) plus quelque chose qui tend vers $0$. Autrement dit le deuxième morceau a de moins en moins d'importance. "À la limite", seule la constante va rester !

Pour $n\ge1$, $u_n=\dfrac{1}{n(n+1)}$.
1a- Pour tout entier $n\ge1$,
\[u_{n+1}-u_n=\frac{1}{(n+1)(n+2)}-\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n+1}\left(\frac1{n+2}-\frac1{n}\right)=\frac{1}{n+1}\times\frac{-2}{n(n+2)}.\]
1b- Ce qu'on vient de calculer est strictement négatif, la suite $(u_n)$ est donc strictement décroissante.
1c- On conjecture que la limite éventuelle de la suite $(u_n)$ est $0$, ce qui est absolument évident dès que l'on dispose d'une définition de limite, quelle qu'elle soit.

2- Pour tout entier $p\ge1$, on considère $S_p= u_1+u_+u_3+\cdots+u_p$.
2a- Pour tout entier $n\ge1$, on a $\dfrac1n-\dfrac1{n+1}=\dfrac{1}{n(n+1)}=u_n$.
2b- Pour tout entier $p\ge 1$, on a $S_p=1-\dfrac1{p+1}$.
Première version : récurrence.
Deuxième version : \begin{align*}
S_p&=\sum_{k=1}^p\left(\frac1k-\frac1{k+1}\right)\\
&=\sum_{k=1}^p\frac1k-\sum_{k=1}^p\frac{1}{k+1}\\
&=\sum_{k=1}^p\frac1k-\sum_{\ell=2}^{p+1}\frac{1}{\ell}\\
&=\frac11-\frac1{p+1}.\end{align*}
2c- On calcule \[\frac1{1\times2}+\frac1{2\times3}+\frac1{3\times4}+\cdots+\frac1{99\times100}=S_{99}=1-\frac{1}{100}=0{,}99.\]

2d- La limite éventuelle de la suite $(S_p)$ est $1$, ça crève les yeux.

En effet, $S_p=1-\frac{1}{p+1}$. Quand $p$ devient très grand, $p+1$ aussi et donc $1/(p+1)$ devient très petit (positif mais très proche de $0$) donc $1-1/(p+1)$ est inférieur et très proche de $1$.

Fait. C'était malheureux. Pour résumer ce long message, seules les deux dernières lignes comptent.

Cela crève les yeux que la limite de la suite $(S_p)$ est $1$. En effet, $S_p=1-\frac{1}{p+1}$. Quand $p$ devient très grand, $p+1$ aussi et donc $1/(p+1)$ devient très petit (positif mais très proche de $0$) donc $1-1/(p+1)$ est inférieur et très proche de $1$.

Pas si immédiat que cela en seconde à mon avis. Cela fait bien longtemps que les variations avec les composées de fonctions ne sont plus au programme du lycée et je ne suis même pas certain que les élèves sachent qu'une somme de fonctions croissantes sur I est croissante sur I.
Dans le premier cas il y a des exercices guidés en seconde où petit à petit en partant par exemple de 0<a<b on arrive à des f(a)>f(b) ( avec des justifications absentes ou massacrées à chaque étape en général par les élèves d'ailleurs...)