Distribution, partie finie de Hadamard

ccapucine · December 2019

Bonjour
la distribution $Pf(1/x^2)$ est définie par :
1. pour tout $\displaystyle\varphi \in \mathcal{D}(\R) : ~<Pf(1/x^2),\varphi>\,= \lim_{\epsilon \to 0} \int_{|x|\geq \epsilon} \dfrac{\varphi(x)}{x^2} dx -2 \dfrac{\varphi(0)}{\epsilon}$
ou bien par :
2. pour tout $\displaystyle\varphi \in \mathcal{D}(\R):~ <Pf(1/x^2),\varphi>\,= \lim_{\epsilon \to 0} \int_{x\geq \epsilon} \dfrac{\varphi(x)}{x^2} dx -2 \dfrac{\varphi(0)}{\epsilon}$ ?
Merci d'avance.

Poirot · December 2019

Quel intérêt aurait-on à considérer la deuxième version ? On obtiendrait $0$ pour chaque fonction nulle sur $]-\infty, 0]$ !

side · December 2019

supp

reuns · December 2019

Soit $\phi,\psi\in C^\infty_c$ et $\psi$ impaire, $\psi'(0)=1$, est-ce que tu peux montrer que $$
\langle \log|x|,\phi''\rangle= \Big\langle 1,\frac{\phi-\phi(0)-\phi'(0)\psi}{x^2}\Big\rangle
$$ et que $$
\langle 1_{x > 0}\log|x|,\phi''\rangle= \Big\langle 1_{x >0},\frac{\phi-\phi(0)-\phi'(0)\psi}{x^2}\Big\rangle+C\phi'(0)$$

Distribution, partie finie de Hadamard

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