Forme normalisée d'un développement limité

OShine · December 2019

Bonjour,

Je n'ai as compris pourquoi la fonction $x \mapsto x^{n+1}$ n'admet pas de forme normalisée en $0$.

Quel est le développement limité en $0$ de $x \mapsto x^{n+1}$ :-S

rakam · December 2019

C'est quoi une "forme normalisée " ?

Développement limité à quel ordre ?

Poirot · December 2019

@OShine : le développement limité à l'ordre $k < n+1$ est $x^{n+1} = o(x^k)$, le développement limité à l'ordre $k \geq n+1$ est $x^{n+1} = x^{n+1} + o(x^k)$.

OShine · December 2019

Je n'ai pas compris comment vous avez fait Poirot. Je pense que ce que demande mon livre n'est pas aussi compliqué.

L'exercice était :
Soit $n \in \N$. Si $f$ est une fonction admettant un développement limité à l'ordre $n$ en $0$, existe-t-il toujours une forme normalisée associée ?
J'ai trouvé comme exemple la fonction nulle. Mon livre a ajouté la fonction $x \mapsto x^{n+1}$ mais je n'ai pas compris pourquoi.

Rappel de cours :
Soit $f$ une fonction admettant un développement limité à l'ordre $n$ en $0$ de partie régulière non nulle : $f(x)=a_0+a_1 x+ \cdots a_n x^n +o(x^n)$. Alors, en notant $p$ le plus petit entier tel que $a_p \ne 0$, l'écriture $f(x)=x^p(a_p+a_{p+1}x+\cdots a_n x^{n-p} +o(x^{n-p})$ s'appelle forme normalisée du développement limité de $f$ à l'ordre $n$ en $0$.

noobey · December 2019

Je crois qu'on ne peut pas faire plus clair plus simple et plus concis que Poirot mais bon vaut mieux se noyer dans un verre vide comme d'habitude

OShine · December 2019

Ok j'ai compris mais en fait il n'y a pas besoin de distinguer les cas.

Si j'applique la formule de Taylor Young à la fonction $x \mapsto x^{n+1}$ à l'ordre $n$, j'obtiens $x^{n+1}=o(x^n)$. La partie régulière est nulle donc il n'y a pas de forme normalisée.