Forme normalisée d'un développement limité
Réponses
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C'est quoi une "forme normalisée " ?
Développement limité à quel ordre ? -
Je n'ai pas compris comment vous avez fait Poirot. Je pense que ce que demande mon livre n'est pas aussi compliqué.
L'exercice était :
Soit $n \in \N$. Si $f$ est une fonction admettant un développement limité à l'ordre $n$ en $0$, existe-t-il toujours une forme normalisée associée ?
J'ai trouvé comme exemple la fonction nulle. Mon livre a ajouté la fonction $x \mapsto x^{n+1}$ mais je n'ai pas compris pourquoi.
Rappel de cours :
Soit $f$ une fonction admettant un développement limité à l'ordre $n$ en $0$ de partie régulière non nulle : $f(x)=a_0+a_1 x+ \cdots a_n x^n +o(x^n)$. Alors, en notant $p$ le plus petit entier tel que $a_p \ne 0$, l'écriture $f(x)=x^p(a_p+a_{p+1}x+\cdots a_n x^{n-p} +o(x^{n-p})$ s'appelle forme normalisée du développement limité de $f$ à l'ordre $n$ en $0$. -
Je crois qu'on ne peut pas faire plus clair plus simple et plus concis que Poirot mais bon vaut mieux se noyer dans un verre vide comme d'habitude
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Ok j'ai compris mais en fait il n'y a pas besoin de distinguer les cas.
Si j'applique la formule de Taylor Young à la fonction $x \mapsto x^{n+1}$ à l'ordre $n$, j'obtiens $x^{n+1}=o(x^n)$. La partie régulière est nulle donc il n'y a pas de forme normalisée. -
Tu as besoin de Taylor-Young pour voir que $x^{n+1}=o(x^n)$ en 0 ? Je te conseille de revoir la définition de $f = o(g)$...
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Oui. :-)
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