Continuité

Bonjour.

Nulle part, dans le texte de Cauchy, n'est dit qu'à accroissement limité de x l'accroissement de f(x) est majoré uniformément. Il y a même une partie de phrase qui laisse toute latitude : "qui dépendra en même temps de la nouvelle variable $\alpha$ et de $x$".
Attention à ne pas prendre les mots "infiniment petit" pour ce qu'ils ne sont pas, ce n'est ici que l'expression pour ce qu'on notera, une fois la notion clarifié, en termes de majoration de valeurs absolues.

Stéphane_idf,

comme Cauchy ne parle nulle part d'indépendance du $\eta$ par rapport à x, la bonne traduction est
$|x-y| < \eta(x,y,\epsilon) \implies |f(x)-f(y)| < \epsilon$
Il ne faut jamais faire dire aux textes anciens ce qu'ils ne disent pas. La notion de fonction absolument continue est légèrement postérieure aux premières définitions de la continuité par Cauchy.

Cordialement.

stéphane : en fait, tout réside dans ce que je disais à la fin de mon premier message, c'est un problème de quantificateurs.

Le problème dans la définition de Cauchy, c'est que trop de choses sont exprimées de manière trop vague, et peuvent donc être interprétées de plusieurs manières (d'où aussi le quiproquo entre ce que toi tu dis et les commentaires de gerard0). Quand on met des quantificateurs devant chaque variable qu'on introduit, on lève les ambiguités et ça résout le problème. Quand tu me parlais de continuité uniforme, ce n'est absolument pas le nom de la variable (changer $a$ en $y$) qui importe mais l'enchaînement des quantificateurs dans la formule.

Quand on parle de "devenir infiniment petit" ou "devenir infiniment grand", on utilise certes les mêmes mots que Cauchy, mais on a une définition beaucoup plus précise de ce qu'on en fait. D'où ce que je te disais : on peut retrouver la définition moderne de continuité à partir de celle de Cauchy sans aucun problème, à condition de savoir ce qu'on fait (donc de savoir quels quantificateurs mettre sur quelle variable et dans quel ordre).