Limite d'une suite réelle
dans Analyse
Bonjour à tous
De l'aide pour calculer cette limite : $$
\lim_n \Big( \dfrac{1}{n} \Big)^n+\Big( \dfrac{2}{n} \Big)^n+\cdots+\Big( \dfrac{n}{n} \Big)^n.
$$ Merci.
De l'aide pour calculer cette limite : $$
\lim_n \Big( \dfrac{1}{n} \Big)^n+\Big( \dfrac{2}{n} \Big)^n+\cdots+\Big( \dfrac{n}{n} \Big)^n.
$$ Merci.
Réponses
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On avait parlé d'une variante il y a peu : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1878850,1878882
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$S_n=\frac{1}{n^n}\sum_{k=1}^n k^n$
et on a facilement un équivalent de $\sum_{k=1}^n k^n$ en encadrant chaque terme par 2 intégrales -
Bonjour
Comment un équivalent de $ \displaystyle \sum_{k=1}^n k^n $ donnera $ \displaystyle
\lim_{n\to+\infty} \dfrac{ \sum_{k=1}^n k^n}{n^{n}} = \dfrac{e}{e-1}$ ?
Détails, merci. -
$$S_n=\sum_{k=0}^{n-1}\left(1-\frac{k}{n}\right)^n\stackrel{(?)}{\rightarrow}\sum_{k=0}^{\infty}e^{-k}=\frac{e}{e-1}.$$ Mais pour justifier le (?), pas si facile. En posant $a_{N,n}=\sum_{k=0}^{N}\left(1-\frac{k}{n}\right)^n$ et avec l'inegalite $1-x<e^{-x}$ on obtient
$$|S_n-a_{N,n}|\leq \sum_{k=N+1}^ne^{-k}<\frac{e^{-N}}{e-1}.$$En notant $a_N=\lim_n a_{N,n}$ et $a=\lim _N a_N$ alors
$$\limsup_n|S_n-a_{N,n}|=\limsup_n|S_n-a_N|\leq \frac{e^{-N}}{e-1} \ \Rightarrow \limsup_n|S_n-a|=0.$$ -
En effet, je n'avais pas assez fait attention, mon encadrement permet juste de prouver que la limite, si elle existe, est comprise entre 1 et e ...
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supp
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Bonjour à tous
Merci Side.
vous avez raison sur les 2 méthodes 1) et 2).
Effectivement je les ai rédigées après effort et du temps et l'astuce principale c'est de considérer :$E(\sqrt{n})$ la partie entiere de $\sqrt{n}$.
Pour la méthde 1) : on majore $S_n$ par $\dfrac{e}{e-1}$. C'est facile puisque : $\ln(1-x) \leq -x$ pour $x < 1$.
puis on minore $S_n$ par $\displaystyle \sum_{k=0}^{E(\sqrt{n})-1} \exp(\dfrac{-k}{1-\dfrac{1}{\sqrt{n}}})$ puisque $\ln(1-x)\geq \dfrac{x}{x-1}$.
Pour la méthode 2) on prendra comme vous l'avez deviné $k_{n}=E(\sqrt{n})$. Mais c'est un peu long.
On partage la somme $ S_{n} $ en deux sommes $A_{n}+B_{n}$ avec :
$\displaystyle A_{n}= \sum_{k=0}^{E(\sqrt{n})} (1-\dfrac{k}{n})^{n}$ et $\displaystyle B_{n}=\sum_{k=E(\sqrt{n})+1}^{n} (1-\dfrac{k}{n})^{n} $.
$B_{n}$ tend vers 0 (facile) et par un développement limité on trouve : $ \displaystyle A_{n}= \sum_{k=0}^{E(\sqrt{n})} e^{-k} + \dfrac{1}{n}\sum_{k=0}^{E(\sqrt{n})} e^{-k}k^2O(1)$. Le 1er terme de cette somme tend vers $\dfrac{e}{e-1}$ et l'autre terme tend vers 0.
Ce qui termine le raisonnement je pense.
[Prière d'écrire les mots en entier. Merci. AD] -
Pourquoi faire simple quand on peut faire complique en effet.
-
@ P
pour paraître profond.:-DLe 😄 Farceur -
supp
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