Limite d'une suite réelle

Bonjour
Comment un équivalent de $ \displaystyle \sum_{k=1}^n k^n $ donnera $ \displaystyle
\lim_{n\to+\infty} \dfrac{ \sum_{k=1}^n k^n}{n^{n}} = \dfrac{e}{e-1}$ ?
Détails, merci.

Bonjour à tous
Merci Side.
vous avez raison sur les 2 méthodes 1) et 2).
Effectivement je les ai rédigées après effort et du temps et l'astuce principale c'est de considérer :$E(\sqrt{n})$ la partie entiere de $\sqrt{n}$.
Pour la méthde 1) : on majore $S_n$ par $\dfrac{e}{e-1}$. C'est facile puisque : $\ln(1-x) \leq -x$ pour $x < 1$.
puis on minore $S_n$ par $\displaystyle \sum_{k=0}^{E(\sqrt{n})-1} \exp(\dfrac{-k}{1-\dfrac{1}{\sqrt{n}}})$ puisque $\ln(1-x)\geq \dfrac{x}{x-1}$.

Pour la méthode 2) on prendra comme vous l'avez deviné $k_{n}=E(\sqrt{n})$. Mais c'est un peu long.
On partage la somme $ S_{n} $ en deux sommes $A_{n}+B_{n}$ avec :
$\displaystyle A_{n}= \sum_{k=0}^{E(\sqrt{n})} (1-\dfrac{k}{n})^{n}$ et $\displaystyle B_{n}=\sum_{k=E(\sqrt{n})+1}^{n} (1-\dfrac{k}{n})^{n} $.
$B_{n}$ tend vers 0 (facile) et par un développement limité on trouve : $ \displaystyle A_{n}= \sum_{k=0}^{E(\sqrt{n})} e^{-k} + \dfrac{1}{n}\sum_{k=0}^{E(\sqrt{n})} e^{-k}k^2O(1)$. Le 1er terme de cette somme tend vers $\dfrac{e}{e-1}$ et l'autre terme tend vers 0.
Ce qui termine le raisonnement je pense.

[Prière d'écrire les mots en entier. Merci. AD]