Développement limité en un réel x0

OShine · December 2019

Bonjour,

Soit $x_0 \in \R$ et $f(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^n a_k (x-x_0)^k +o((x-x_0)^n)$.

Je ne comprends pas le sens de la remarque suivante :

Il ne faut surtout pas développer car ce sont bien les puissances de $(x-x_0)$ qui sont intéressantes au voisinage de $x_0$ car chacune de ces quantité est négligeable devant la précédente..

Dom · December 2019

Ne pas développer les puissances $k$.
C’est clair. Personne n’en a envie d’ailleurs.

Ensuite tu aimes bien les polynômes, ils sont « faciles à regarder ».
Un DL en $x_0$ est un polynômes non pas en $x$ mais en $x-x_0$, avec toutes les imperfections que cette phrase raconte.

OShine · December 2019

Je n'ai pas compris le "chacune de ces quantités est négligeable devant la précédente";

rakam · December 2019

Alors tu n'as RIEN compris aux développements limités !

OShine · December 2019

Peut être bien, je viens d'aborder cette notion et j'étudie tout seul.

Mon livre n'explique pas ce détail.

bd2017 · December 2019

Bonjour
Quand on commence à étudier les développements limités, il est important de comprendre ce que l'on entend par "un terme est négligeable par rapport à un autre".
Plus précisément ça m'étonnerait que dans ton livre on explique pas ce que signifie
f(x)=o(g(x)) au voisinage de $x_0$.

Math Coss · December 2019

Lorsque $x$ tend vers $x_0$, \[
x-x_0=o(1),\quad (x-x_0)^2=o(x-x_0),\quad (x-x_0)^3=o\bigl((x-x_0)^2\bigr),\quad (x-x_0)^4=o\bigl((x-x_0)^3\bigr),\quad\text{etc.}\]La raison en est simple : $\lim\limits_{x\to x_0}\dfrac{(x-x_0)^{k+1}}{(x-x_0)^k}=\lim\limits_{x\to x_0}(x-x_0)=0$ pour tout $k$.

side · December 2019

supp

OShine · December 2019

OK merci. J'ai surtout compris avec la remarque de Maths Cross. Dans la definition des développements limités ce détail n'est pas abordé. Je viens d'apprendre une chose.

bisam · December 2019

@side : Attention, le mot "négligeable", en maths, a un sens complètement différent de celui que tu suggères !!
Contrairement au sens donné en physique où il s'agit d'une comparaison relative de deux grandeurs, en maths, il y a une notion de limite... et il se peut tout-à-fait que l'ordre de grandeur nécessaire pour voir une différence relative entre deux termes consécutifs soit extrêmement petit (bien plus faible que toute comparaison relative qui aurait un sens physique).

Par exemple, $u_n=10^{157} \sqrt{n}$ est négligeable devant $v_n=10^{-43}n$ lorsque $n$ tend vers l'infini, mais il faut attendre que $n$ dépasse $10^{400}$ pour que le rapport $\frac{u_n}{v_n}$ devienne seulement inférieur à $1$...

Bref, ton explication peut illustrer... mais il faut bien préciser que cela n'a pas grand chose à voir avec la définition mathématique.

bd2017 · December 2019

OShine écrivait:

> OK merci. J'ai surtout compris avec la remarque de
> Maths Cross. Dans la definition des
> développements limités ce détail n'est pas
> abordé. Je viens d'apprendre une chose.

X:-(

Je pense que c'est la remarque de Math Coss (comme cosinus et non pas crosinus)

Math Coss · December 2019

Ou « cossard », pas « croisé ».

side · December 2019

supp

bisam · December 2019

@side : Tu m'as apparemment mal compris car je parlais uniquement de la notion de "négligeabilité".
Je trouve, personnellement, que c'est une hérésie de chercher à faire comprendre cette notion en faisant calculer des termes consécutifs d'un développement de Taylor, pour une valeur de $h$ fixée, aussi petite qu'elle soit !
La notion mathématique comporte un quantificateur sur $h$ tandis que la notion physique n'en comporte pas puisqu'elle ne fait que comparer deux grandeurs.
À mes yeux, c'est justement ce qui fait que mes élèves ont beaucoup de mal à comprendre l'utilité de mettre des o(...)

side · December 2019

supp

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