Intégrale à bornes variables
Bonsoir à tous
Je cherche à montrer ceci.
Soit $f$ une fonction continue sur $[a,b]$ et $u,v: I\to \R$ deux fonctions de classe $C^1$, où $I$ est intervalle de $\R$. Alors la fonction $G$ définie par $$
G(x)=\int_{u(x)}^{v(x)}f(t)dt$$ est de classe $C^1$ et $$G'(x)=v'(x)f(v(x))-u'(x) f(u(x)).
$$ Comment démarrer s'il vous plaît ?
Je cherche à montrer ceci.
Soit $f$ une fonction continue sur $[a,b]$ et $u,v: I\to \R$ deux fonctions de classe $C^1$, où $I$ est intervalle de $\R$. Alors la fonction $G$ définie par $$
G(x)=\int_{u(x)}^{v(x)}f(t)dt$$ est de classe $C^1$ et $$G'(x)=v'(x)f(v(x))-u'(x) f(u(x)).
$$ Comment démarrer s'il vous plaît ?
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Réponses
Tout simplement en utilisant une primitive de \(f\) pour calculer l'intégrale…
Je peux rester dans le meme fille et poser la meme question pour le cas $G(x)=\int_{u(x)}^{v(x)} f(x,t)dt$
Comment on retrouve $$G'(x)=v'(x)f(x,v(x))-u'(x)f(x,u(x))+\int_{u(x)}^{v(x)} \frac{\partial f}{\partial x}(x,t) dt$$
\phi:&\R\to\R^3,&x&\mapsto\bigl(x,u(x),v(x)\bigr)\\
F:&\R^3\to\R,&(x,a,b)&\mapsto\int_a^bf(x,t)\mathrm{d}t.
\end{align*}