Caractérisation des opérateurs compacts
Bonjour,
On se place dans un Hilbert H et T est un opérateur compact de H dans lui-même. On demande de mq montrer que T transforme toute suite faiblement convergente en suite fortement convergente.
Indication: Mq Montrer que (Tun) est relativement compacte et admet une unique valeur d'adhérence.
Considérons donc une suite (un) faiblement convergente vers u. Alors (un) est bornée donc, comme T est compact, on peut extraire de (Tun) une sous-suite convergente.
De plus, comme la convergence forte implique la convergence faible et que (Tun) converge faiblement vers Tu, (Tun) admet bien l'unique valeur d'adhérence Tu.
Mon pb : étant donné l'indication, j'ai envie de conclure : (Tun) admet une et une seule valeur d'adhérence donc elle converge vers celle-ci, mais la preuve que je connais de ce résultat n'est valable qu'en dimension finie.
Ce résultat est-il valable en dimension infinie ? Sinon, y a-t-il un autre moyen de conclure ?
Merci d'avance.
On se place dans un Hilbert H et T est un opérateur compact de H dans lui-même. On demande de mq montrer que T transforme toute suite faiblement convergente en suite fortement convergente.
Indication: Mq Montrer que (Tun) est relativement compacte et admet une unique valeur d'adhérence.
Considérons donc une suite (un) faiblement convergente vers u. Alors (un) est bornée donc, comme T est compact, on peut extraire de (Tun) une sous-suite convergente.
De plus, comme la convergence forte implique la convergence faible et que (Tun) converge faiblement vers Tu, (Tun) admet bien l'unique valeur d'adhérence Tu.
Mon pb : étant donné l'indication, j'ai envie de conclure : (Tun) admet une et une seule valeur d'adhérence donc elle converge vers celle-ci, mais la preuve que je connais de ce résultat n'est valable qu'en dimension finie.
Ce résultat est-il valable en dimension infinie ? Sinon, y a-t-il un autre moyen de conclure ?
Merci d'avance.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Ça m'a l'air d'être vrai dans tout compact comme $T\cdot (u_n)$.
D'ailleurs je n'ai pas l'impression que ce soit si vrai que ça dans $\R$ avec la suite
$u_n = n$ si $n$ pair, et 0 sinon. Seule valeur d'adhérence $0$, mais suite divergente.
D'une part, on a :
Si $(x_n)_n$ est une suite convergente (définie sur un espace topologique quelconque), alors toute suite extraite converge vers la même limite. Donc une suite convergente admet une seule valeur d'adhérence.
D'autre part (je me note : L3 page 62 si vous voulez que je donne la preuve) :
Si $E$ est un espace à base dénombrable de voisinages, $a \in E$ est valeur d'adhérence d'une suite $(x_n)_n$ de $E$ $\Longleftrightarrow$ il existe une suite extraite de $(x_n)_n$ qui converge vers $a$.
Dans ce cas, si $(x_n)_n$ n'admet qu'une seule valeur d'adhérence, toutes ses suites extraites qui convergent convergent vers la même limite. Ça ne nous en apprend pas beaucoup plus, sauf s'il existe un autre résultat utile que je n'ai pas trouvé.
EDIT : j'ai trouvé ceci, regardez la remarque sur les espaces dénombrablement compacts.