Matrice hessienne non continue
dans Analyse
Bonjour
Je cherche la matrice Hessienne de la fonction suivante S(x,y) = x3y
Je trouve les dérivés partielles suivantes :
- f'x(x,y) = 3x2y
- f'y(x,y) = x3
Puis 6x et 3x2 pour les dérivées croisées.
Les dérivées croisées ne sont pas continues [? égales ? AD]. Comment traiter la matrice hessienne ? Quel est la valeur du déterminant ?
Merci d'avance.
Je cherche la matrice Hessienne de la fonction suivante S(x,y) = x3y
Je trouve les dérivés partielles suivantes :
- f'x(x,y) = 3x2y
- f'y(x,y) = x3
Puis 6x et 3x2 pour les dérivées croisées.
Les dérivées croisées ne sont pas continues [? égales ? AD]. Comment traiter la matrice hessienne ? Quel est la valeur du déterminant ?
Merci d'avance.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Comment as-tu trouvé 6x
En général, si $f$ est une fonction de classe $C^2$, voir même simplement, deux fois dérivables sur $\R^2$, ses dérivées partielles "croisées" existent et sont identiques : $$
\frac{d^2}{dxdy}f(x,y)=\frac{d^2}{dydx}f(x,y).
$$ La matrice hessienne en $(x,y)$ est donc symétrique.
S'il advenait que tu trouves en $(x_0,y_0)$ une matrice hessienne, non symétrique, tu pourrais en déduire que $f$ n'est pas deux fois dérivables en $(x_0,y_0)$.
Par conséquent, soit tu t'es trompé dans tes calculs, soit Laurent Schwartz a commis un théorème grossièrement faux ;-)
A+
F.
Oui, ce n'est pas méchant, comme dit Goleon, c'est le $6x$ qui ne correspond pas : ce n'est pas une dérivée croisée, mais $\partial^2_{x,x} f$. (et encore, il manque un $y$ !)
Ce n'est pas idiot, sauf que bon, en l'occurrence, c'est un polynôme que l'on étudie, et que simplement, il a mélangé ses dérivations...
Donc pour résumer, le déterminant serait bien égal à :
Det (S(x,y)) = (6xy) x (0) - (3x2)2
Est-ce bien cela ?
Merci !
A+
F.