Fonction test

Homo Topi Comment ça ne veut rien dire ? $\varphi \in \mathcal{D}(\emptyset)\iff \varphi $ est la fonction nulle.

Heu Haa !
La fonction nulle est indéfiniment dérivable et son support est le vide donc inclus dans le vide ($D(\Omega)$ est l'ensemble des fonctions indéfiniment dérivable à support dans $\Omega$).

Gerard ce qui nous intéresse est le support, il doit être inclus dans le vide. Tu dois te convaincre que le support de la fonction nulle est le vide.
edit J'ajoute la fonction nulle est indéfiniment dérivable sur $\R$ et le vide est inclus dans $\R$ donc $f$ est indéfiniment dérivable sur le vide :-D
où est le 'mistake' ?

La fonction vide est un truc de la théorie des ensembles, on peut définir une application $\varnothing \longrightarrow \varnothing$.

Il faut juste savoir comment est définie la notion de fonction en théorie des ensembles. Une fonction de $A$ dans $B$, c'est une relation (une partie de $A \times B$) qui, pour tout $a \in A$, contient un unique couple $(x,y)$. Avec $A = \varnothing$, on peut fabriquer une fonction vide de $\varnothing$ dans n'importe quel ensemble (puisque la condition "pour tout $a \in \varnothing$" n'a aucune restriction*), y compris à valeurs dans $\varnothing$. Toutes ces fonctions sont vides au sens ou leur graphe, l'ensemble des couples, est $\varnothing$.


*par exemple, on peut dire, pour tout $x \in \varnothing$, $\displaystyle \frac{x}{0}=1$. C'est vrai, puisque c'est vérifié par tout élément de $\varnothing$... parce que $\varnothing$ ne contient personne, justement.


Ça ne fait pas avancer ta question sur les fonctions-test, mais bon.

Par contre, j'aimerais vraiment savoir où tu as trouvé ce $\mathcal{D}(\varnothing)$

gerard

Je sais la discussion est vide.
Pour comprendre mon argument.

Peux-tu nier le fait que l'application vide soit constante?

et la seule fonction constante dont le support est vide est la fonction nulle.

Oui, je m'est trompu de flèche, j'ai rectifié. La fatigue peut-être.

Et c'est ccapucine qui a écrit $\mathcal{D}(\varnothing)$ la première, on attend toujours de savoir où elle a vu ça.

@gerard0 : effectivement, l'application vide convient, mea culpa.

Et comme il y a un seul élément, l'application vide est le zéro de l'espace vectoriel ?
Dans ce cadre, on peut l'appeler "nulle", sans contester que c'est l'application vide.
On peut aussi l'appeler constante, ou positive, ou ...

Cordialement.

NB : Pourquoi Gebrane ne l'a-t-il pas dit ainsi ??