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Cardinal des valeurs d'une suite de fonctions

mehdimehdi
dans Analyse
Bonjour

Soit (f_n) une suite de fonctions entre deux espaces de Banach, telle que chaque fonction prend un nombre fini de valeurs et (f_n) converge simplement vers une fonction f.
Que peut-on dire du cardinal de f ?
Est-ce que ce cardinal est inférieur ou égal au cardinal de l'ensemble des réels R ?
Merci.

Réponses

  • CortoCorto
    Il s'agit plutôt du cardinal de l'image de $f$. Bon en tout cas tu ne devrais pas avoir de mal à trouver une suite $(f_n)$ de fonctions étagées (ou même en escalier) qui converge simplement vers la fonctions identité sur $[0;1]$.
  • mehdimehdi
    Merci Corto
    Espace de Banach
  • JLTJLT
    La réponse à la question est oui. Soit $c$ le cardinal de $\R$. Soit $D$ une partie au plus dénombrable d'un espace métrique.

    1) L'ensemble des suites à valeurs dans $D$ est de cardinal au plus $c$.

    2) En déduire que le cardinal de l'adhérence de $D$ est au plus $c$.

    3) Conclure.
  • CortoCorto
    Hum je n'avais pas bien lu la question, c'est JLT qui y répond correctement. Mon message ne fait que montrer que le cardinal de $\R$ peut effectivement être atteint.

    Ceci dit $\R$ muni de la valeur absolue est bien un espace de Banach.
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