Fonction polynomiale au voisinage de 0
Bonjour
Je souhaite montrer que toute fonction polynomiale est bornée au voisinage de $0$. C'est pour une démonstration sur le produit des développements limités.
Soit $P(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^n a_k x^k.$ Soit $\eta>0$ et $x \in [-\eta,\eta]$.
Mais ensuite je bloque pour passer à $x^k$ étant donné que la fonction $x \mapsto x^n$ n'est pas toujours croissante sur $ [-\eta,\eta]$
Je souhaite montrer que toute fonction polynomiale est bornée au voisinage de $0$. C'est pour une démonstration sur le produit des développements limités.
Soit $P(x)=\displaystyle\sum_{k=0}^n a_k x^k.$ Soit $\eta>0$ et $x \in [-\eta,\eta]$.
Mais ensuite je bloque pour passer à $x^k$ étant donné que la fonction $x \mapsto x^n$ n'est pas toujours croissante sur $ [-\eta,\eta]$
Réponses
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Brutalement, l'inégalité triangulaire !
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Bonjour,
Il suffit de majorer \(P(x)\) par inégalité triangulaire. -
Je n'ai pas compris la démonstration pour le développement limité d'un produit.
$f(x)=P(x)+o(x^n)$ et $g(x)=Q(x)+o(x^n)$
On a $f(x)g(x)=P(x)Q(x)+P(x) o(x^n)+Q(x) o(x^n)+ o(x^{2n})$
Comment montrer que $o(x^{2n})=o(x^n)$ ?
J'ai écrit $o(x^{2n})= \alpha(x) x^{2n}$ et $o(x^{n})= \beta(x) x^{n}$ où $\alpha , \beta \longrightarrow 0$
Mais après je bloque.
Comment on sait qu'on peut tronquer à l'ordre $n$ le produit $PQ$ ? -
Merci !
Je trouve que $\boxed{|P(x)| \leq \displaystyle\sum_{k=0}^n a_k \eta^k}$ -
Il manque quelques valeurs absolues dans cette majoration…
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Tout simplement :
\begin{align*}f(x)&=P(x)+x^n\alpha(x)&g(x)&=Q(x)+x^n\beta(x)\end{align*}
avec \(\alpha\) et \(\beta\) de limites nulles en 0. Alors :
\[f(x)g(x)=P(x)Q(x)+x^n\bigl(P(x)\beta(x)+Q(x)\alpha(x)+\alpha(x)\beta(x)\bigr)\]
et il suffit de vérifier que \(P(x)\beta(x)+Q(x)\alpha(x)+\alpha(x)\beta(x)\) est de limite nulle en 0, -
Oui j'ai fait une erreur c'est
$\boxed{|P(x)| \leq \displaystyle\sum_{k=0}^n |a_k| \eta^k}$ -
@gb
Merci j'ai compris votre méthode. Mais mon livre en utilise une légèrement différente en manipulant les petit o. Comme je bloque souvent sur ces détails j'aimerais traiter avec les petits o.
Comment montrer que $o(x^{2n})=o(x^{n})$. Je n'ai pas compris comment montrer que 2 petits 0 sont égaux.
Et comment passer de $f(x)g(x)=P(x)Q(x)+o(x^n)$ à
En notant $R$ la fonction polynomiale obtenue en tronquant à l'ordre $n$ le produit $PQ$, alors $R$ est une fonction polynomiale de degré au plus $n$ qui vérifie $P(x)Q(x)=R(x)+o(x^n)$
Je n'ai pas compris le passage en rouge. -
OShine écrivait:
Comment on sait qu'on peut tronquer à l'ordre $n$ le produit $PQ$ ?
La division euclidienne par \(X^{n+1}\) dans \(\R[X]\) est l'argument de la troncature des développements limités à l'ordre \(n\). -
Quelques arguments:
\begin{align*} \frac{o(x^{2n})}{x^n} &= x^n\frac{o(x^{2n})}{x^{2n}} & \lim_{x\to0}x^n&=0 & \lim_{x\to0}\frac{o(x^{2n})}{x^{2n}}&=0\end{align*} -
Ce que je ne comprenais pas c'est l'égalité $P(x)Q(x)=R(x)+o(x^n)$
Mais je pense avoir trouvé, à confirmer...
On a $P(x)Q(x)=R(x)+ \displaystyle\sum_{k=n+1}^{2n} a_k x^k$
Ainsi : $P(x)Q(x)-R(x)=\displaystyle\sum_{k=n+1}^{2n} a_k x^k$. Montrons que $\displaystyle\sum_{k=n+1}^{2n} a_k x^k=o(x^n)$
Soit $x \in \R^{*}$. 0 est bien un point adhérent à $\R^{*}$ ainsi, comme $k-n \geq 1$ on a :
$\lim\limits_{x \rightarrow 0} \dfrac{\displaystyle\sum_{k=n+1}^{2n}}{x^n}= \lim\limits_{x \rightarrow 0} \displaystyle\sum_{k=n+1}^{2n}a_k x^{k-n} =0$
Par transitivité du petit o on obtient le résultat. -
OShine écrivait:
J'ai écrit $o(x^{2n})= \alpha(x) x^{2n}$ et $o(x^{n})= \beta(x) x^{n}$ où $\alpha , \beta \longrightarrow 0$
Tu divises implicitement par \(x\)…
Avec cette notation :
\[o(x^{2n})=\alpha(x)x^{2n}=\bigl(\alpha(x)x^n\bigr)x^n\]
où \(\alpha(x)\) tend vers \(0\) avec \(x\), donc \(\alpha(x)x^n\) aussi. -
Merci :-)
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Il n'y a que moi qui tique sur $o(x^n)=o(x^{2n})$ ?
Ce qui est négligeable devant $x^{2n}$ l'est devant $x^n$ mais la réciproque est fausse donc ce symbole "=" n'est pas symétrique...
Bref, $o(f)=o(g)$ ne veut rien dire... -
Oui et l'autre sens est faux
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Cela signifie que si une fonction est négligeable devant $ x^{2n}$alors elle est négligeable devant $x^n$
Si on note $o(x^n)$ l'ensemble des fonctions négligeables devant $x^n$ , on peut écrire $ o(x^{2n}) \subset o(x^n)$
mais l'inclusion réciproque est fausse -
Il écrit clairement l’égalité ou il passe d’une ligne à l’autre en changer la puissance $n$ à la puissance $2n$ ?
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L'égalité est écrite clairement.
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Je me suis trompé dans mon dernier message, il faut échanger $n$ et $2n$.
Bon, le $=$ ici n’est pas un égal classique.
Les définitions de $f=o(g)$ sont à interpréter dans un sens.
D’ailleurs on voit très rarement (pas du tout ?) $o(g)=f$ dans ce contexte.
L’écriture remplace $f$ est un petit $o$ de $g$.
Le « est un » est une propriété d’existence.
Ainsi, quand je lis $o(f)=o(g)$, je traduis $o(f)$ est un petit $o$ de $g$.
Le danger est que ça ne s’interprète que dans un sens (voir l’inclusion, plus haut).
D’ailleurs dans l’écriture $o(f)=o(g)$ je soupçonne que l’on doive le lire, en gros, « ce petit $o$ là de $f$ », est « un petit $o$ de $g$ ».
Bon.
La notation est dangereuse. Le symbole ne devrait pas être « symétrique ». -
D'accord merci.
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