Espace de Sobolev
Bonjour,
je vous prie de m'aider à calculer la norme suivante.
On définit la fonction suivante $$
f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} b_{n} \sin(n\pi x) ,
$$ où $\sin(n\pi x)_{n\in N}$ est une famille orthonormale pour la norme de $L^{2}(0,1)$.
Je veux calculer $\quad ||f||^{2}_{H^{-1}(0,1)}. $
Je sais que l'espace $H^{-1}(0,1)$ est un espace fonctionnel et c'est exactement l'espace dual de $H^{1}_{0}(0,1)$,
j'arrive à trouver la définition de sa norme sur internet. Mais malgré tout, je n'arrive pas vraiment à calculer cette norme !!
Merci d'avance.
je vous prie de m'aider à calculer la norme suivante.
On définit la fonction suivante $$
f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} b_{n} \sin(n\pi x) ,
$$ où $\sin(n\pi x)_{n\in N}$ est une famille orthonormale pour la norme de $L^{2}(0,1)$.
Je veux calculer $\quad ||f||^{2}_{H^{-1}(0,1)}. $
Je sais que l'espace $H^{-1}(0,1)$ est un espace fonctionnel et c'est exactement l'espace dual de $H^{1}_{0}(0,1)$,
j'arrive à trouver la définition de sa norme sur internet. Mais malgré tout, je n'arrive pas vraiment à calculer cette norme !!
Merci d'avance.
Réponses
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On a très envie d'utiliser une relation de Parseval, seulement ta famille de sinus est-elle une base de Hilbert de $H^{-1}$ (je n'en sais rien, ne connaissant rien aux Sobolev). Quelle est la définition de ta norme ?
-
Bonjour
A mon avis cela dépend de la norme choisie pour $H_0^1(0,1).$ Si la norme :
$||f||_1^2=\int_0^1 |f'(x)|^2 dx$ alors la norme demandée est
$$||f||_{-1}^2 =\sum_{n=1}^\infty \dfrac{b_n^2}{n^2}$$ -
bd2017
Ça ressemble très bien à ce que vous avez proposé comme norme, la bonne réponse c'est $$
\|f\|_{-1}^{2}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{b_{n}^{2}}{\pi^{2}n^{2}}
$$ Mais je n'ai pas compris comment ils ont obtenue ce résultat !
Est-ce que vous pouvez m’expliquer comment vous avez obtenue cette norme ? Est-ce que déjà c'est un norme pour $H^{-1}(0,1)$ ?
[Inutile de reproduire le message précédent. AD] -
D'abord il n'y a pas de bonne réponse comme vous le dites. En effet le facteur $1/\pi^2$ que vous ajoutez est arbitraire à mon sens.
En effet si la norme dans $L^2(0,1)$ d'un élément f est $||f||^2=\int_0^1 f(x)^2 dx $
alors on ne peut pas dire que la famille $\sin(\pi n x)$ est une base orthonormée.
car $\int_0^1 \sin( n \pi x)^2 dx =1/2.$
Comme vous m'avez annoncé que la famille est orthonormée, les données ne sont pas clairement établies quant au choix de la norme dans l'espace pivot $L^2(0,1).$ En particulier la constante $\pi^2$ ne me semble pas en adéquation avec l'affirmation que $\sin(n\pi x)$ est normée.
Donc là il y a quelque chose à voir de votre côté.
Laissons donc tomber cette constante qui ne change pas fondamentalement les choses,
Alors si la norme dans $H^1_0$ est $||f||^2=\int_0^1 f(x)'^2 dx $ (équivalente à $||f||^2=\int_0^1 f(x)^2 dx +\int_0^1 f(x)'^2 dx $ d'après l'inégalité de Poincaré)
la norme de $f$ dans $H^1_0$ est donc $||f||_1^2= \sum_{n\geq 1} n^2 \pi^2 b_n^2 $ alors la norme dans le dual est $||f||^2= \sum_{n\geq 1} 1/(\pi^2 n^2) b_n^2 $ pour le voir il faut donc revenir à la définition. -
bd2017
Oui, Vous avez raison, je veux dire orthogonale pas orthonormale, désolé je n'ai pas fait attention.
Concernant la deuxième partie de votre message, la norme considérée dans $H^{1}_{0}$ c'est exactement ce que vous avez motionné.
Mon problème c'est que je n'arrive pas à déterminer la norme dans le dual !
Vous avez dit qu'il suffit d'utiliser la définition ! Je ne vois pas comment ?
Voilà la définition que j'ai trouvé pour la norme dans le dual. $$
\|T\|_{H^{-m}}=\inf \bigg\{\Big(\sum_{0 \leqslant \alpha \leqslant m} \int_{\Omega}\left|g_{\alpha}\right|^{2} d x\Big)^{\frac{1}{2}}: T=\sum_{0 \leqslant \alpha \leqslant m} \partial^{\partial} g_{\alpha}\bigg\}
$$ Est-ce que vous avez utilisé cette définition pour déterminer la norme ?? -
Il faut revenir à la définition (première) de la norme dans le dual, $T$ est une forme linéaire continue donc sa norme est définie par $\sup|T(x)|$ sur $\|x\|=1$.
Pour l'exercice, il faut bien faire attention à la rédaction pour définir le terme en question : sans condition sur $b_n$ quel sens a $\sum_0^{+\infty}\cdots$ ? -
Bonjour
si $f(x)\sum_{n\geq 1} b_n \sin(n \pi x)$ alors $\int_0^1 f(x)^2 dx =1/2 \sum_{n\geq 1} b_n^2 =||f[[_{L^2}^2.$
Alors si $f\in H^1_0,\ ||f||_{H^1_0}^2=||f'||_{L^2}^2=1/2 \sum_{n\geq 1}n^2\pi^2 b_n^2$
Soit $g=\sum_{n\geq 1} c_n \sin(n \pi x),$ considérons l'application de $H^1_0(0,1)$ vers $\R$ qui à $f$ fait correspondre
$<g,f>\,=1/2 \sum_{n\geq1} c_n b_n $ (pourvu que cela ait un sens).
Alors $<g,f>\,=1/2 \sum_{n\geq 1} \dfrac{ c_n} {n \pi} (n \pi b_n)=\,<\tilde{ g},f' >_{L^2,L^2} =\int_0^1 \tilde{ g}(x) f'(x) dx, $
où si $\tilde{ g}= \sum_{n\geq1} \dfrac{ c_n} {n \pi} \sin(n \pi x) $ appartient à $L^2$ donne un sens à $<g,f>$,
et définit ainsi une forme linéaire continue sur $H_0^1(0,1).$ Pour un tel $g$, on peut donc l'identifier à un élément de $H^{-1}.$ De plus sa norme au carré (norme dans $H^{-1}.$) est donnée par $||\tilde{g}||_{L^2}^2=1/2 \sum_{n \geq 1} \dfrac{c_n^2}{n^2 \pi ^2}.$
En fait changer la constante par une autre ne fait que remplacer une norme par une norme équivalente.
| -
supp
-
Rebonjour
Pour répondre à @Side:
Effectivement il faut corriger, on a $\tilde{g}=-\sum_{n\geq 1} \dfrac{c_n}{n\pi} \cos(n\pi x)$ mais je ne change pas le reste de ce que j'ai dit.
Pour répondre à @linali la norme que j'utilise $||g||_{H^{-1}}= \sup_{f\in H^1_0} \dfrac{ |<g,f>|}{||f||_1}.$
Comme $X=\cal{D}(0,1)$ est dense dans $H_0^1,$ un élément du dual est une distribution et si $f$ est une fonction test on a :
$ < g ,f>\,= \sum_{n\geq 1 } c_n b_n $
Ensuite on remarque $< g ,f>\,=\,<\tilde{g}, f'>$ ce qui implique $||g||_{H^{-1}}=||\tilde {g}||_{L^2}.$
Comme le dit @Side un élément de $H^{-1}$ peut être vu comme la dérivée d'un élément de $L^2$ -
Bonjour bd2017
J'ai refait les calculs que vous avez fait, et j'ai deux questions.
Pour qu'on soit d'accord, supposons on veut calculer la norme dans $H^{-1}$ d'une fonction $g=\sum_{n \geq 1} c_{n} \sin (n \pi x) $ (NB: au cour de votre réponse vous avez mélangé $g$ avec $f$).
1)Vous avez dit que vous avez utilisé la norme suivante $$
\|g\|_{H^{-1}}=\sup _{f \in H_{0}^{1}} \frac{|<g, f>|}{\|f\|_{1}},
$$ ça, ce n'est pas vraiment clair, (vous avez le résultat sans division sur la norme de $f$) !!
2) Vous avez montré que $<g, f>\,=<\tilde{g}, f^{\prime}>_{L2,L2}$ pour un $f$ particulier et pas pour tout $f$, est-ce que ça vous donne le droit d'écrire que $\|g\|_{H^{-1}}=\|\tilde{g}\|_{L^{2}}$, je ne pense pas (sauf c'est si cet ensemble des $f$ est dense dans $H^{1}_{0}$, ou bien la famille des $(\sin(n\pi x))_{n} $ est une base si oui je ne suis pas au courant) !
Merci d'avance. -
Bonjour
Pour répondre à votre question, je vais d'abord changer la famille $\sin(n\pi x)$ par la famille
$e_n:=e_n(x)\sqrt{2} \sin(n\pi x) $ de sorte à avoir une b.o.n pour le produit scalaire dans $L^2(0,1)$ défini par $<u,v>_{L^2,L^2}=\int_0^1 u(x) v(x) dx,\ \forall u,v \in L^2(0,1).$
Ça ne change rien mais on est tranquille avec la constante.
Ensuite je vais garder $f$ comme notation pour la "fonction" et $h$ servira de fonction test.
Alors votre hypothèse $ f:=\sum_{n\geq 1} b_n e_n$ ne dit rien sur les coefficients $b_n.$
Il y a plusieurs interprétations possibles concernant votre question.
En effet $f$ est une "fonction," ça veut dire quoi. Une fonction au sens classique ou au sens général (i.e une distribution).
Même au sens classique dans quel espace de fonction on prend $f$ ?
Supposons pour l'instant que $f\in L^2(0,1)$ c'est-à-dire que $\sum_{n\geq 1} b_n ^2<\infty.$
Soit h un élément quelconque de $H^1_0(0,1)$, on a alors $h(x)=\sum_{n\geq 1} c_n e_n(x) ,$ avec $||h'||^2_{L^2}=\sum_{n\geq 1} n ^2\pi ^2 c_n^2 \pi ^2 < \infty=||h||_{H^1_0} $
L'application $h\mapsto < f, h>_{L^2,L^2}=\int_0^1 f(x) h(x) dx = \sum_{n\geq 1} b_n c_n = \sum_{n\geq 1} b_n/(n\pi) ( c_n n \pi )$
définit bien une forme linéaire continue sur $H^1_0$ dont la norme est $||f||^2_{H^{-1}}=\sum_{n\geq 1} b_n^2/(n\pi)^2.$
Il y a plusieurs façon de voir cela mais on l'obtient bien à partir de la définition et avec l'aide de Cauchy-Schwarz
Maintenant j'ai calculé la norme d'un élément de $H^1_0$ qui est dans $L^2(0,1).$ Mais si $f$ est dans $H^{-1}$ mais pas dans $L^2$ écrire $f(x)=\sum_{n\geq 1} b_n e_n (x) $ ne définit pas une fonction au sens classique mais une distribution. Néanmoins dans mon premier message j'explique qu'on peut identifier $f$ à un élément de $H^{-1} $ pourvu que $\sum_{n\geq 1} b_n^2/(n\pi)^2<\infty$ et le calcul de la norme reste valable. Par ailleurs tout élément de $H^{-1}$ peut être représenté par un tel $f$. -
@bd2017
Bonsoir
Je suis désolé je n'ai pas bien précisé dès le départ la fonction $f$.
Bin, les $b_{n}$ sont les coefficients de Fourier c'est-à-dire $b_{n} \in l^{2}(0.1)$
ce qui est équivalent à dire $\sum_{n>0} b_{n}^{2} < \infty$ et par suite la fonction $f \in L^{2}(0.1)$.
D'autre part, j'ai compris votre développement jusqu'au point que où vous avez construit une application linéaire (on le note $\Psi$), ensuite vous m'avez perturbé.
Vous avez commencé par dire que toutes fonctions $h\in H^{1}_{0}$ on peut l'exprimer sous la forme $\sum_{n>0} c_{n} \sin(n\pi x) $ ;
ensuite vous avez défini la fonction $\Psi : H^{1}_{0}(0.1) \rightarrow R$; $h \mapsto <f,h>_{L^{2},L^{2}} = \sum_{n>1} c_{n} b_{n}.$
Pour le produit scalaire il est bien défini puisque les deux fonctions sont dans $L^{2},$ ensuite vous avez montré que $<f,h>_{L^{2},L^{2}} = \,<f{'},h^{\sim}>_{L^{2},L^{2}}$ avec $h^{\sim} = \sum_{n>0} c_{n}n\pi \cos(n\pi x)$
$\Psi $ est une fonction linéaire continue dans $H^{1}_{0}.$
Jusque là on est d'accord, après ça je n'ai rien compris.
Comment vous arrivez à dire que $$||\Psi||^{2}_{H^{-1}} = \|f\|_{H^{-1}}^{2}=\sum_{n \geq 1} b_{n}^{2} /(n \pi)^{2} \quad ?
$$ Toujours cette étape qui manque dans votre raisonnement !! -
Il ne manque pas d'étape dans mon raisonnement. Relisez les 7 lignes de mon message précédent, en particulier les 3 premières de ces 7 dernière lignes.
-
bd2017
Je ne pose jamais des questions avant de lire et relire toutes les informations que j'ai.
Vous avez dit que "l'application définit bien une forme linéaire continue sur $H^{1}_{0}$ dont la norme est : $ \|f\|_{H^{-1}}^{2}=\sum_{n>1} b_{n}^{2} /(n \pi)^{2} $,
Il y a plusieurs façons de voir cela mais on l'obtient bien à partir de la définition et avec l'aide de Cauchy-Schwarz"
Et vous n'avez pas préciser comment ?? -
Lis bien ceci et tu comprendras https://www.uvt.rnu.tn/resources-uvt/cours/analyse-hilbertienne/espaces-hilberte/chap1/sec3/node1.htmlLe 😄 Farceur
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