Espace de Sobolev
Bonjour,
je vous prie de m'aider à calculer la norme suivante.
On définit la fonction suivante $$
f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} b_{n} \sin(n\pi x) ,
$$ où $\sin(n\pi x)_{n\in N}$ est une famille orthonormale pour la norme de $L^{2}(0,1)$.
Je veux calculer $\quad ||f||^{2}_{H^{-1}(0,1)}. $
Je sais que l'espace $H^{-1}(0,1)$ est un espace fonctionnel et c'est exactement l'espace dual de $H^{1}_{0}(0,1)$,
j'arrive à trouver la définition de sa norme sur internet. Mais malgré tout, je n'arrive pas vraiment à calculer cette norme !!
Merci d'avance.
je vous prie de m'aider à calculer la norme suivante.
On définit la fonction suivante $$
f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} b_{n} \sin(n\pi x) ,
$$ où $\sin(n\pi x)_{n\in N}$ est une famille orthonormale pour la norme de $L^{2}(0,1)$.
Je veux calculer $\quad ||f||^{2}_{H^{-1}(0,1)}. $
Je sais que l'espace $H^{-1}(0,1)$ est un espace fonctionnel et c'est exactement l'espace dual de $H^{1}_{0}(0,1)$,
j'arrive à trouver la définition de sa norme sur internet. Mais malgré tout, je n'arrive pas vraiment à calculer cette norme !!
Merci d'avance.
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Réponses
A mon avis cela dépend de la norme choisie pour $H_0^1(0,1).$ Si la norme :
$||f||_1^2=\int_0^1 |f'(x)|^2 dx$ alors la norme demandée est
$$||f||_{-1}^2 =\sum_{n=1}^\infty \dfrac{b_n^2}{n^2}$$
Ça ressemble très bien à ce que vous avez proposé comme norme, la bonne réponse c'est $$
\|f\|_{-1}^{2}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{b_{n}^{2}}{\pi^{2}n^{2}}
$$ Mais je n'ai pas compris comment ils ont obtenue ce résultat !
Est-ce que vous pouvez m’expliquer comment vous avez obtenue cette norme ? Est-ce que déjà c'est un norme pour $H^{-1}(0,1)$ ?
[Inutile de reproduire le message précédent. AD]
En effet si la norme dans $L^2(0,1)$ d'un élément f est $||f||^2=\int_0^1 f(x)^2 dx $
alors on ne peut pas dire que la famille $\sin(\pi n x)$ est une base orthonormée.
car $\int_0^1 \sin( n \pi x)^2 dx =1/2.$
Comme vous m'avez annoncé que la famille est orthonormée, les données ne sont pas clairement établies quant au choix de la norme dans l'espace pivot $L^2(0,1).$ En particulier la constante $\pi^2$ ne me semble pas en adéquation avec l'affirmation que $\sin(n\pi x)$ est normée.
Donc là il y a quelque chose à voir de votre côté.
Laissons donc tomber cette constante qui ne change pas fondamentalement les choses,
Alors si la norme dans $H^1_0$ est $||f||^2=\int_0^1 f(x)'^2 dx $ (équivalente à $||f||^2=\int_0^1 f(x)^2 dx +\int_0^1 f(x)'^2 dx $ d'après l'inégalité de Poincaré)
la norme de $f$ dans $H^1_0$ est donc $||f||_1^2= \sum_{n\geq 1} n^2 \pi^2 b_n^2 $ alors la norme dans le dual est $||f||^2= \sum_{n\geq 1} 1/(\pi^2 n^2) b_n^2 $ pour le voir il faut donc revenir à la définition.
Oui, Vous avez raison, je veux dire orthogonale pas orthonormale, désolé je n'ai pas fait attention.
Concernant la deuxième partie de votre message, la norme considérée dans $H^{1}_{0}$ c'est exactement ce que vous avez motionné.
Mon problème c'est que je n'arrive pas à déterminer la norme dans le dual !
Vous avez dit qu'il suffit d'utiliser la définition ! Je ne vois pas comment ?
Voilà la définition que j'ai trouvé pour la norme dans le dual. $$
\|T\|_{H^{-m}}=\inf \bigg\{\Big(\sum_{0 \leqslant \alpha \leqslant m} \int_{\Omega}\left|g_{\alpha}\right|^{2} d x\Big)^{\frac{1}{2}}: T=\sum_{0 \leqslant \alpha \leqslant m} \partial^{\partial} g_{\alpha}\bigg\}
$$ Est-ce que vous avez utilisé cette définition pour déterminer la norme ??
Pour l'exercice, il faut bien faire attention à la rédaction pour définir le terme en question : sans condition sur $b_n$ quel sens a $\sum_0^{+\infty}\cdots$ ?
si $f(x)\sum_{n\geq 1} b_n \sin(n \pi x)$ alors $\int_0^1 f(x)^2 dx =1/2 \sum_{n\geq 1} b_n^2 =||f[[_{L^2}^2.$
Alors si $f\in H^1_0,\ ||f||_{H^1_0}^2=||f'||_{L^2}^2=1/2 \sum_{n\geq 1}n^2\pi^2 b_n^2$
Soit $g=\sum_{n\geq 1} c_n \sin(n \pi x),$ considérons l'application de $H^1_0(0,1)$ vers $\R$ qui à $f$ fait correspondre
$<g,f>\,=1/2 \sum_{n\geq1} c_n b_n $ (pourvu que cela ait un sens).
Alors $<g,f>\,=1/2 \sum_{n\geq 1} \dfrac{ c_n} {n \pi} (n \pi b_n)=\,<\tilde{ g},f' >_{L^2,L^2} =\int_0^1 \tilde{ g}(x) f'(x) dx, $
où si $\tilde{ g}= \sum_{n\geq1} \dfrac{ c_n} {n \pi} \sin(n \pi x) $ appartient à $L^2$ donne un sens à $<g,f>$,
et définit ainsi une forme linéaire continue sur $H_0^1(0,1).$ Pour un tel $g$, on peut donc l'identifier à un élément de $H^{-1}.$ De plus sa norme au carré (norme dans $H^{-1}.$) est donnée par $||\tilde{g}||_{L^2}^2=1/2 \sum_{n \geq 1} \dfrac{c_n^2}{n^2 \pi ^2}.$
En fait changer la constante par une autre ne fait que remplacer une norme par une norme équivalente.
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Pour répondre à @Side:
Effectivement il faut corriger, on a $\tilde{g}=-\sum_{n\geq 1} \dfrac{c_n}{n\pi} \cos(n\pi x)$ mais je ne change pas le reste de ce que j'ai dit.
Pour répondre à @linali la norme que j'utilise $||g||_{H^{-1}}= \sup_{f\in H^1_0} \dfrac{ |<g,f>|}{||f||_1}.$
Comme $X=\cal{D}(0,1)$ est dense dans $H_0^1,$ un élément du dual est une distribution et si $f$ est une fonction test on a :
$ < g ,f>\,= \sum_{n\geq 1 } c_n b_n $
Ensuite on remarque $< g ,f>\,=\,<\tilde{g}, f'>$ ce qui implique $||g||_{H^{-1}}=||\tilde {g}||_{L^2}.$
Comme le dit @Side un élément de $H^{-1}$ peut être vu comme la dérivée d'un élément de $L^2$
Merci beaucoup.
J'ai refait les calculs que vous avez fait, et j'ai deux questions.
Pour qu'on soit d'accord, supposons on veut calculer la norme dans $H^{-1}$ d'une fonction $g=\sum_{n \geq 1} c_{n} \sin (n \pi x) $ (NB: au cour de votre réponse vous avez mélangé $g$ avec $f$).
1)Vous avez dit que vous avez utilisé la norme suivante $$
\|g\|_{H^{-1}}=\sup _{f \in H_{0}^{1}} \frac{|<g, f>|}{\|f\|_{1}},
$$ ça, ce n'est pas vraiment clair, (vous avez le résultat sans division sur la norme de $f$) !!
2) Vous avez montré que $<g, f>\,=<\tilde{g}, f^{\prime}>_{L2,L2}$ pour un $f$ particulier et pas pour tout $f$, est-ce que ça vous donne le droit d'écrire que $\|g\|_{H^{-1}}=\|\tilde{g}\|_{L^{2}}$, je ne pense pas (sauf c'est si cet ensemble des $f$ est dense dans $H^{1}_{0}$, ou bien la famille des $(\sin(n\pi x))_{n} $ est une base si oui je ne suis pas au courant) !
Merci d'avance.
Pour répondre à votre question, je vais d'abord changer la famille $\sin(n\pi x)$ par la famille
$e_n:=e_n(x)\sqrt{2} \sin(n\pi x) $ de sorte à avoir une b.o.n pour le produit scalaire dans $L^2(0,1)$ défini par $<u,v>_{L^2,L^2}=\int_0^1 u(x) v(x) dx,\ \forall u,v \in L^2(0,1).$
Ça ne change rien mais on est tranquille avec la constante.
Ensuite je vais garder $f$ comme notation pour la "fonction" et $h$ servira de fonction test.
Alors votre hypothèse $ f:=\sum_{n\geq 1} b_n e_n$ ne dit rien sur les coefficients $b_n.$
Il y a plusieurs interprétations possibles concernant votre question.
En effet $f$ est une "fonction," ça veut dire quoi. Une fonction au sens classique ou au sens général (i.e une distribution).
Même au sens classique dans quel espace de fonction on prend $f$ ?
Supposons pour l'instant que $f\in L^2(0,1)$ c'est-à-dire que $\sum_{n\geq 1} b_n ^2<\infty.$
Soit h un élément quelconque de $H^1_0(0,1)$, on a alors $h(x)=\sum_{n\geq 1} c_n e_n(x) ,$ avec $||h'||^2_{L^2}=\sum_{n\geq 1} n ^2\pi ^2 c_n^2 \pi ^2 < \infty=||h||_{H^1_0} $
L'application $h\mapsto < f, h>_{L^2,L^2}=\int_0^1 f(x) h(x) dx = \sum_{n\geq 1} b_n c_n = \sum_{n\geq 1} b_n/(n\pi) ( c_n n \pi )$
définit bien une forme linéaire continue sur $H^1_0$ dont la norme est $||f||^2_{H^{-1}}=\sum_{n\geq 1} b_n^2/(n\pi)^2.$
Il y a plusieurs façon de voir cela mais on l'obtient bien à partir de la définition et avec l'aide de Cauchy-Schwarz
Maintenant j'ai calculé la norme d'un élément de $H^1_0$ qui est dans $L^2(0,1).$ Mais si $f$ est dans $H^{-1}$ mais pas dans $L^2$ écrire $f(x)=\sum_{n\geq 1} b_n e_n (x) $ ne définit pas une fonction au sens classique mais une distribution. Néanmoins dans mon premier message j'explique qu'on peut identifier $f$ à un élément de $H^{-1} $ pourvu que $\sum_{n\geq 1} b_n^2/(n\pi)^2<\infty$ et le calcul de la norme reste valable. Par ailleurs tout élément de $H^{-1}$ peut être représenté par un tel $f$.
Bonsoir
Je suis désolé je n'ai pas bien précisé dès le départ la fonction $f$.
Bin, les $b_{n}$ sont les coefficients de Fourier c'est-à-dire $b_{n} \in l^{2}(0.1)$
ce qui est équivalent à dire $\sum_{n>0} b_{n}^{2} < \infty$ et par suite la fonction $f \in L^{2}(0.1)$.
D'autre part, j'ai compris votre développement jusqu'au point que où vous avez construit une application linéaire (on le note $\Psi$), ensuite vous m'avez perturbé.
Vous avez commencé par dire que toutes fonctions $h\in H^{1}_{0}$ on peut l'exprimer sous la forme $\sum_{n>0} c_{n} \sin(n\pi x) $ ;
ensuite vous avez défini la fonction $\Psi : H^{1}_{0}(0.1) \rightarrow R$; $h \mapsto <f,h>_{L^{2},L^{2}} = \sum_{n>1} c_{n} b_{n}.$
Pour le produit scalaire il est bien défini puisque les deux fonctions sont dans $L^{2},$ ensuite vous avez montré que $<f,h>_{L^{2},L^{2}} = \,<f{'},h^{\sim}>_{L^{2},L^{2}}$ avec $h^{\sim} = \sum_{n>0} c_{n}n\pi \cos(n\pi x)$
$\Psi $ est une fonction linéaire continue dans $H^{1}_{0}.$
Jusque là on est d'accord, après ça je n'ai rien compris.
Comment vous arrivez à dire que $$||\Psi||^{2}_{H^{-1}} = \|f\|_{H^{-1}}^{2}=\sum_{n \geq 1} b_{n}^{2} /(n \pi)^{2} \quad ?
$$ Toujours cette étape qui manque dans votre raisonnement !!
Je ne pose jamais des questions avant de lire et relire toutes les informations que j'ai.
Vous avez dit que "l'application définit bien une forme linéaire continue sur $H^{1}_{0}$ dont la norme est : $ \|f\|_{H^{-1}}^{2}=\sum_{n>1} b_{n}^{2} /(n \pi)^{2} $,
Il y a plusieurs façons de voir cela mais on l'obtient bien à partir de la définition et avec l'aide de Cauchy-Schwarz"
Et vous n'avez pas préciser comment ??