Matrice jacobienne d’une homothétie
dans Analyse
Bonjour,
Mon objectif est de comprendre la question 2/ de cet exercice (en pièce jointe).
On remarque que l’on peut obtenir par une homothétie de rapport R Bd(0, R) à partir de Bd(0, 1).
Notons hR l’application définie précédemment.
On a alors: \d(Bd(0, R)) = \d(hR(Bd(0, 1)))
En utilisant le théorème du changement de variable par un diffeomorphisme, on obtient alors d’après mon professeur:
\d(hR(Bd(0, 1))) = |det R*Id|\d(B(0, ,1))
Donc d’après le théorème du changement de variable, on aurait alors que la matrice jacobienne d’une homothétie de rapport R est égale à R*Id.
Pourriez-vous me dire comment on arrive à ce résultat ?
Merci d’avance pour vos réponses.
Mon objectif est de comprendre la question 2/ de cet exercice (en pièce jointe).
On remarque que l’on peut obtenir par une homothétie de rapport R Bd(0, R) à partir de Bd(0, 1).
Notons hR l’application définie précédemment.
On a alors: \d(Bd(0, R)) = \d(hR(Bd(0, 1)))
En utilisant le théorème du changement de variable par un diffeomorphisme, on obtient alors d’après mon professeur:
\d(hR(Bd(0, 1))) = |det R*Id|\d(B(0, ,1))
Donc d’après le théorème du changement de variable, on aurait alors que la matrice jacobienne d’une homothétie de rapport R est égale à R*Id.
Pourriez-vous me dire comment on arrive à ce résultat ?
Merci d’avance pour vos réponses.
Réponses
-
Si on écrit en termes de variables, l'homothétie de rapport $R$ est $(x_1, \dots, x_d) \mapsto (Rx_1, \dots, Rx_d)$. La matrice jacobienne est évidemment égal à la matrice $R I_d$. Ô surprise, ça représente la même application linéaire !
Exercice : montrer que la différentielle d'une application linéaire en un point est l'application linéaire de départ. En déduire que son jacobien en tout point est égal à son déterminant. -
Bonjour,
Tu peux utiliser un argument théorique.L'homothéthie de rapport \(R\) est une application linéaire, donc sa différentielle est, en tout point, …
Tu peux faire le calcul explicite L'homothétie de rapport \(R\) est définie par:
\[(x_1,\dots,x_d)\mapsto R(x_1,\dots,x_d)=(Rx_1,\dots,Rx_d),\]
le calcul de la jacobienne est immédiat. -
Merci Poirot et gb, je n’arrivais pas à voir les variables avec lesquelles on dérive les fonctions.
Et effectivement la matrice jacobienne de hR donne bien R*Id. -
Si on se rappelle qu'un litre, c'est $1\;\mathrm{dm}^3$, soit le volume occupé par un cube de côté $1\;\mathrm{dm}$, qu'un mètre-cube est le volume occupé par un cube de côté $1\;\textrm{m}=10\;\textrm{dm}$, s'étonnera-t-on que le volume du deuxième cube soit $10^3$ plus grand que le volume du premier ? Autrement dit, qu'un mètre-cube d'eau, ce sont mille litres d'eau ? Certes, pour une sphère, il y a un facteur de forme ($4\pi/3$ en dimension trois) mais cela ne change pas grand-chose.
NB : image empruntée ici. -
s'étonnera-t-on ? Cela dépend du "on".
En tout cas, il ne semble pas que cette notion de "facteur d'échelle" soit correctement enseignée au long du cursus. S'étonnera-t-on du désastre résultant ?
Cordialement, Pierre. -
Autre cause possible d'étonnement : le lien entre déterminant et volume n'est peut-être pas toujours explicité.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.2K Toutes les catégories
- 9 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 53 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 65 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 69 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 314 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 773 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres
In this Discussion
Qui est en ligne 6
+4 Invités