Précision développement limité
Bonjour,
J'ai quelques difficultés à comprendre le passage en rouge...
Supposons que nous souhaitions obtenir un développement limité à l'ordre $n$ pour une fonction du type $f \times g$ et que l'on dispose des formes normalisées des développements limités de $f$ et $g$ en $0$, à des ordres $r$ et $s$ respectivement :
$f(x)=x^p (a_p+a_{p+1}x+\cdots a_r x^{r-p}+o(x^{r-p}))$ avec $a_p \ne 0$.
et : $g(x)=x^q (b_q+b_{q+1}x+\cdots a_s x^{s-q}+o(x^{s-q}))$ avec $b_q \ne 0$.
Alors on constate que les 2 termes qui limitent la précision du calcul du produit $f(x)g(x)$ sont :
$x^p \times a_p \times x^q \times o(x^{s-q})$ et $x^p \times b_p \times x^q \times o(x^{r-p})$ et comme $a_p \ne 0$ et $b_q \ne 0$ : $o(x^{s+p})$ et $o(x^{r+p})$
J'ai quelques difficultés à comprendre le passage en rouge...
Supposons que nous souhaitions obtenir un développement limité à l'ordre $n$ pour une fonction du type $f \times g$ et que l'on dispose des formes normalisées des développements limités de $f$ et $g$ en $0$, à des ordres $r$ et $s$ respectivement :
$f(x)=x^p (a_p+a_{p+1}x+\cdots a_r x^{r-p}+o(x^{r-p}))$ avec $a_p \ne 0$.
et : $g(x)=x^q (b_q+b_{q+1}x+\cdots a_s x^{s-q}+o(x^{s-q}))$ avec $b_q \ne 0$.
Alors on constate que les 2 termes qui limitent la précision du calcul du produit $f(x)g(x)$ sont :
$x^p \times a_p \times x^q \times o(x^{s-q})$ et $x^p \times b_p \times x^q \times o(x^{r-p})$ et comme $a_p \ne 0$ et $b_q \ne 0$ : $o(x^{s+p})$ et $o(x^{r+p})$
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Je suis d'accord, je ne comptais pas l'apprendre par cœur. Je veux juste comprendre ce passage.
Bon j'ai conseil de classe, je vais essayer de développer ça ce soir pour retrouver le résultat.
Car dans mon livre après il y a encore un exercice théorique là-dessus.
Étant donné que c'est simple on les néglige et si tu es en prépa, retenir des faits tels que "on ne dérive pas un DL !" pourra te faire gagner des rangs !
J'ai toujours du mal à comprendre la remarque en rouge, je suis bloqué.
$f(x) g(x)=(x^p (a_p+a_{p+1}x+\cdots a_r x^{r-p}+o(x^{r-p})) )( x^q (b_q+b_{q+1}x+\cdots a_s x^{s-q}+o(x^{s-q})) )$
Il y a tellement de termes, je ne sais pas ce qu'il faut développer pour trouver les 2 termes qui limitent la précision du calcul. Et pourquoi il y en a que 2 ? Comment savoir lesquels ?
\[f(x)g(x)=x^px^q
\bigl(a_p+a_{p+1}x+\cdots+a_rx^{r-p}+o(x^{r-p})\bigr)
\bigr(b_q+b_{q+1}x+\cdots+b_s x^{s-q}+o(x^{s-q})\bigr)\]
tu laisses momentanément tomber le facteur \(x^px^q\) et tu développes le reste par distributivirté:
\begin{multline*}
(a_p+a_{p+1}x+\cdots+a_rx^{r-p}+o(x^{r-p})\bigr)
\bigr(b_q+b_{q+1}x+\cdots+b_s x^{s-q}+o(x^{s-q})\bigr) = \\
a_p\bigr(b_q+b_{q+1}x+\cdots+b_s x^{s-q}+o(x^{s-q})\bigr) \\
+a_{p+1}x\bigr(b_q+b_{q+1}x+\cdots+b_s x^{s-q}+o(x^{s-q})\bigr) \\ \\
+a_{p+2}x^2\bigr(b_q+b_{q+1}x+\cdots+b_s x^{s-q}+o(x^{s-q})\bigr) \\
+ \dots \\
+o(x^{r-p})\bigr(b_q+b_{q+1}x+\cdots+b_s x^{s-q}+o(x^{s-q})\bigr)
\end{multline*}
Le développement de la première ligne te donne immédiatement le terme limitant \(a_po(x^{s-q})\) (qui deviendra \(x^px^qa_po(x^{s-q}\) en reprenant les facteurs omis): en poursuivant le développement tu peux donc « laisser tomber » les termes que je porte en rouge dans le calcul suivant et les incorporer dans un \(o(x^{s-q})\):
\begin{align*}
a_p\bigr(b_q+b_{q+1}x+\cdots+b_s x^{s-q}+o(x^{s-q})\bigr) &=
a_pb_q+a_pb_{q+1}x+\cdots+a_pb_s x^{s-q}+\color{red}{o(x^{s-q})} \\
a_{p+1}x\bigr(b_q+b_{q+1}x+\cdots+b_s x^{s-q}+o(x^{s-q})\bigr) &=
a_{p+1}b_qx+a_{p+1}b_{q+1}x^2+\cdots+\color{red}{a_{p+1}b_s x^{s-q+1}+o(x^{s-q+1})}
\end{align*}
\begin{multline*}
a_{p+2}x^2\bigr(b_q+b_{q+1}x+\cdots+b_s x^{s-q}+o(x^{s-q})\bigr) = \\
a_{p+2}b_qx^2+a_{p+2}b_{q+2}x^3+\cdots+\color{red}{a_{p+2}b_{s-1}sx^{s-q+1}+a_{p+2}b_sx^{s-q+2}+o(x^{s-q+2})}
\end{multline*}
jusqu'à la dernière ligne:
\[o(x^{r-p})\bigr(b_q+b_{q+1}x+\cdots+b_s x^{s-q}+o(x^{s-q})\bigr)
=b_qo(x^{r-p})+b_{q+1}o(x^{r-p+1})+\cdots+b_s o(x^{r-p+s-q})+o(x^{r-p+s-q})\]
qui est limité par son premier terme \(b_qo(x^{r-p})\), et cette limitation te force à reprendre les lignes antérieures pour voir si elle y absorbe certains termes.
Dans la pratique, le nombre de termes « en rouge » augmente d'une unité à chaque nouvelle ligne du calcul: si le terme limitant global est \(a_po(x^{s-q})\), tu vas obtenir une ligne entièrement rouge, et tu arrêteras le calcul du développement limité. Sinon, tu poursuis le calcul jusqu'au bout, et c'est le terme en \(b_qo(x^{r-p})\) qui est le terme limitant global.
P.S. Je m'excuse si les tableaux pour les calculs explicites débordent de certains écrans.
Mais je n'ai pas compris comment déterminer les termes limitants. C'est quoi la définition d'un terme limitant ?
Je n'ai pas trop compris non plus les termes en rouges : pourquoi il y en a aucun dans la dernière ligne ?
Il n'y a aucun terme en rouge dans la dernière ligne parce qu'on ne sait pas comparer \(x^{r-p}\) et \(x^{s-q}\) (dans la théorie, parce que dans la pratique on sait toujours…).
Deux exemples.
\[\begin{array}{rrl}
\bigl(1+2x+3x^2+4x^3+o(x^3)\bigr)\bigl(5-4x+o(x)\bigr) = & 5-4x & \color{red}{+o(x)}\\
& +10x & \color{red}{-8x^2+o(x^2)}\\
& & \color{red}{+15x^2-12x^3+o(x^3)}\\
& & \color{red}{+20x^3-16x^4+o(x^4)}\\
& & \color{red}{+o(x^3)+o(x^4)+o(x^5)}\\
= & 5+6x & \color{red}{+o(x)}
\end{array}\]
Le terme \(o(x)\) de la première ligne a limité l'ordre du développement limité.
\[\begin{array}{rrl}
\bigl(1+2x-x^2+o(x^2)\bigr)\bigl(2-x+x^2-2x^3+o(x^3)\bigr) = & 2-x+x^2-2x^3 & \color{red}{+o(x^3)}\\
& +4x-2x^2+2x^3 & \color{red}{-4x^4+o(x^4)}\\
& -2x^2+x^3 & \color{red}{-x^4+2x^5+o(x^5)}\\
& +o(x^2) & \color{red}{+o(x^3)+o(x^6)+o(x^7)}
\end{array}\]
et le développement, que l'on avait limité au troisième degré au vu du terme \(o(x^3)\) de la première ligne, est en fait limité par le terme \(o(x^2)\) de la dernière ligne d'où le résultat:
\[\bigl(1+2x-x^2+o(x^2\bigr)\bigl(2-x+x^2-2x^3+o(x^3)\bigr) = 2+3x-3x^2+o(x^2).\]
Comme l'a dit Poirot : rien ne vaut la pratique, même s'il faut connaître la théorie sous-jacente, parce que le plus difficile à maîtriser, c'est d'anticiper les limitations qui vont intervenir en cours de calcul afin de commencer avec suffisamment de termes pour pouvoir conclure, mais pas trop pour ne pas alourdir les calculs.
En fait, lorsque l'on fait un produit, il faut déterminer a priori l'ordre que l'on va obtenir, et tronquer les développements initiaux afin de déblayer le terrain des termes inutiles.
Je n'ai pas compris vos exemples :-(
En fait c'est la définition de "terme qui limite la précision du calcul" que je ne comprends pas. .
Tout ce qui est de degré au moins \(s-q+1\) se regroupe dans un \(o(x^{s-q})\).
Tout ce qui est de degré au moins \(sr-p+1\) se regroupe dans un \(o(x^{r-p})\).
\(o(x^{s-q})\) et \(o(x^{r-p})\) se regroupent en \(o(x^n)\) où \(n\) est le plus petit des deux degrés.
Les intervenants font un boulot meilleur que je ne pourrais le faire.
Pour moi si tu as un DL(0) à l’ordre 4 d’une fonction (par exemple indéfiniment dérivable), alors tu ne peux pas en déduire un DL(0) de la fonction à l’ordre 10.
C’est un problème « évident », si on peut dire.
Là, si j’ai bien compris, on parle de connaître les DL(0) de deux fonctions à l’ordre $n$ et on se demande si on peut en déduire le DL(0) de leur produit à un ordre $m$.
Est-ce cela la question, si je la pose de manière très générale ?
J'ai repris vos calculs je comprends tous les calculs mais je n'ai pas compris comment vous faites pour déterminer le terme limitant la précision du calcul...
Après avoir développé toutes les lignes comment fait-on pour trouver le terme limitant ?
En même temps je ne sais toujours pas ce que c'est concrètement même sur un exemple ultra simple je n'ai pas compris comment déterminer le terme limitant. Exemple :
$e^x \ln (1+x) =(1+x+o(x))(x-\dfrac{x^2}{2}+o(x^2))$
Mon livre dit que les termes limitants sont $o(x)$ et $o(x^2)$ mais je ne comprends pas pourquoi.
Pourquoi $1$ ne serait pas un terme limitant lui aussi :-S
Un développement limité, c'est une somme de termes dont chacun est négligeable devant le précédent ; le dernier terme est le terme limitant.
Si les premiers termes ont un ordre connu (\(2x^4\) ou \(-5x^7\) par exemple), le dernier terme (le terme limitant) est seulement décrit comme négligeable devant le terme précédent sans qu'un ordre de grandeur soit donné : \(o(x^7)\) peut représenter \(4x^8\), \(7x^{15}\), \(x^9\ln(x)\) ou des choses encore plus « compliquées ».
Quand tu développes \(e^x\ln(1+x)\) tu as à calculer successivement:
\begin{align*}
a &= 1.\left(1-\frac{x^2}{2}+o(x^2)\right) \\
b &= x.\left(1-\frac{x^2}{2}+o(x^2)\right) \\
c &= o(x).\left(1-\frac{x^2}{2}+o(x^2)\right)
\end{align*}
Le terme limitant de $a$ est \(1.o(x^2)\), le terme limitant dans $b$ serait \(x.o(x^2)\), mais il a été « éliminé » par le terme limitant de $a$.
Le terme limitant de $c$ est \(x.o(x)\).
La consigne est donnée dans mon premier message.
@Math Cross
Ça veut dire quoi "limiter la précision d'une approximation" ?
@gb
Ok merci je retiens que le terme limitant est celui qui est négligeable devant tous les autres termes. C'est le dernier terme. J'en reviens au problème de départ.
Je n'ai pas compris comment déterminer les termes limitant et comment on sait qu'il y en a que 2.
\[\bigl(a_0+a_1x+\dotsc+a_px^p+o(x^p)\bigr)\bigl(b_0+b_1x+\dotsc+b_qx^q+o(x^q)\bigr)\]
on obtient quatre types de termes:
- ceux de la forme \(a_kx^ko(x^q)\) qui sont tous des \(o(x^q)\);
- ceux de la forme \(b_lx^lo(x^p)\) qui sont tous des \(o(x^p)\);
- ceux de la forme \(a_kb_lx^{k+l}\) dont certains, de degré suffisamment grand, sont des \(o(x^p)\) ou des \(o(x^q)\);
- le terme \(o(x^p)o(x^q)\) que l'on peut voir aussi bien comme un \(o(x^p)\) que comme un \(o(x^q)\);
donc les deux termes a priori limitants sont \(o(x^p)\) et \(o(x^q)\), le terme réellement limitant étant celui des deux qui fait intervenir le plus petit degré.
$ a_p \bigr(b_q+b_{q+1}x+\cdots+b_s x^{s-q}+o(x^{s-q})\bigr)= a_pb_q+a_pb_{q+1}x+\cdots+a_pb_s x^{s-q}+a_p o(x^{s-q})$
Je pense que je n'ai pas compris la technique pour trouver le terme limitant dans cette ligne, vu que en une demi heure je n'ai rien trouvé :-S
J'ai passé la journée dessus et je pense n'avoir toujours rien compris.
Ne reste pas bloqué sur le vocabulaire : je n'avais jamais vu ce terme avant, ce n'est pas bien grave s'il n'y a pas de définition dans ton livre (qui n'est pas une référence absolue au passage), c'est une discussion informelle sur l'interprétation à faire des développements limités.
Si tu mesures une longueur avec une précision au centimètre près, tu peux raisonnablement dire "elle vaut 14cm + une petite erreur de mesure mais négligeable devant un centimètre".
Si maintenant tu mesures deux longueurs, une au centimètre près et l'autre au millimètre près, que dire de la précision de la somme ? Évidemment il est hors de question de dire qu'elle est de "14,3cm au mm près" ! Ta première mesure n'est précise qu'au centimètre.
C'est l'idée des dl.
Je vais essayer ( de te sortir encore une fois de tes sables mouvants) en t’expliquant comment trouver le facteur limitant et la notion de gain d'un ou plusieurs degrés.
Si par exemple, on cherche le DL d'un produit fg à l'ordre 2, le théorème nous dit de développer f et g à l'ordre 2, de faire le produit et de ne garder que les termes en x de puissance inférieur à 2
Maintenant, on cherche une économie de calcul.
Si le DL de f commence par une constante non nulle ( par exemple $f(x):= e^x$), on a aucun gain sur le degré pour le DL de g , c'est à dire on développe g à l'ordre 2 et le facteur limitant de g est bien sûr est o(x²).
On regarde maintenant si on peut faire une économie pour le DL de f . Si le développent de g commence par x ( par exemple $g(x)= \ln(1+x)$ ), on a un gain de degré 1 pour le DL de f , c'est à dire on développe f à l'ordre 1 et le facteur limitant de f est bien sûr est o(x).
En général pour réaliser le DL d'un produit fg à l'ordre n:
si le DL de f commence par $x^p$ et celui de g commence par $x^q$, on a un gain de degré q pour f et un gain de degré p pour g c'est à dire le facteur limitant de f est $o(x^{n-q})$ et celui de g est $o(x^{n-p})$
Essaie de donner le DL en 0 de $sin^6(x)$ à l'ordre 9 en utilisant des économies
$f(x)=x+x^2+o(x)$ n'apporte rien de plus que $f(x)=x+o(x)$ car $x^2=o(x)$ ?
En effet, $f(x)=x+x^2+o(x)=x+o(x)+o(x)=x+o(x)$
@Gebrane
Je pense qu'appliquer la technique que vous donnez je vais réussir, le souci est que je bloque toujours dans la démonstration, je n'arrive pas à déterminer le terme limitant de la première ligne : $ a_p \bigr(b_q+b_{q+1}x+\cdots+b_s x^{s-q}+o(x^{s-q})\bigr)= a_pb_q+a_pb_{q+1}x+\cdots+a_pb_s x^{s-q}+a_p o(x^{s-q})$
Attention, s’il l’on a plusieurs $o$, ce ne sont pas les mêmes fonctions $\varepsilon$.
J’ai l’impression que c’est ce symbole qui t’embrouille.
Pour la deuxième ligne :
$a_{p+1}b_qx+a_{p+1}b_{q+1}x^2+ \cdots + a_{p+1} b_{s-1} x^{s-q} + a_{p+1} b_{s} x^{s-q+1}+a_{p+1} o(x^{s-q+1})$
Tous les termes sont négligeables devant le précédent et on a par ailleurs : $a_{p+1} o(x^{s-q+1})=o(x^{s-q})=a_p o(x^{s-q})$ Donc le terme limitant est $a_p o(x^{s-q})$.
Je poursuis mais je commence à comprendre ! Je vais essayer de faire la dernière ligne.
Dans la pratique on n'écrit jamais de facteurs numériques devant les \(o(x^n)\).
Soit $f_1$ $f_2$ et $f_3$ trois fonctions. En supposant que l'on dispose des développements limités en $0$ suivants écrits sous forme normalisée :
$f_1(x)=x^{p_1} (a_{p_1}+a_{p_1+1} x + \cdots a_{n_1} x^{n_1-p_1} +o(x^{n_1-p_1}))$
$f_2(x)=x^{p_2} (b_{p_2}+b_{p_2+1} x + \cdots b_{n_2} x^{n_2-p_1} +o(x^{n_2-p_2}))$
$f_3(x)=x^{p_3} (c_{p_3}+c_{p_3+1} x + \cdots c_{n_3} x^{n_3-p_3} +o(x^{n_3-p_3}))$
Exprimer en fonction des entiers $p_1 p_2 p_3 n_1 n_2 n_3$ l'ordre auquel il est possible d'obtenir le développement limité en $0$ de la fonction $f_1 \times f_2 \times f_3$.
Comment est-ce possible de développer une telle expression ? ::o
Avec 2 facteurs c'était déjà immonde.
Le terme en $a_{p_1} b_{p_2} c_{p_3} o(x^{n_1}) o(x^{n_2}) o(x^{n_3})$ par exemple, comment savoir s'il va contribuer à l'ordre du développement limité ?
Teste avec des exemples simples. Commence avec 2 fonctions déjà
Réponse en blanc : le plus petit parmi $o(x^{n_1+p_2+p_3})$, $o(x^{n_2+p_1+p_3})$, $o(x^{n_3+p_1+p_2})$.
C’est une remarque, dans la marge, ou une note de bas de page.
On voit bien ce qu’est une tangente : c’est une droite « la mieux » qui passe par le point de la courbe.
Un DL(a) généralise cela.
A l’ordre 2, c’est une parabole « la mieux » qui passe par le point de la courbe.
A l’ordre 3 etc.
Travailler un peu avec un traceur de courbe permet de voir qu’en effet les polynômes devant le « petit $o$ » sont proches de la courbe sur un voisinage du point.
Évidemment en dehors du voisinage c’est une approximation grossière.
J’ai bien dit approximation : les DL proposent des approximations de réelles ($f(a)$).
Et là on rejoint cette histoire de terme militant limitant (haha, merci Gérard).
Bon, c’est tout.
J'ai compris grâce à l'aide très utile de @Gb le cas à 2 fonctions en développant tout.
Mais 3 fonctions c'est trop compliqué à développer. C'est des calculs interminables.
@Poirot
Je n'ai pas réellement compris comment vous faites.
Déjà par exemple le terme $a_{p_1} b_{p_2} c_{p_3} o(x^{n_1}) o(x^{n_2}) o(x^{n_3})$ j'en fais quoi ?
Puis les termes en $o(x^{n_1+n_2})$ pourquoi ils n'apparaissent pas dans votre solution ?
fg(x) = x^{p_1+p_2}\bigl(\alpha_0+\alpha_1x+\cdots+\alpha_nx^n+o(x^n)\bigr) \tag{*}
\] et tout ce que l'on a besoin de savoir c'est que \(\alpha_0\) est non nul (\(\alpha_0=a_{p_1}b_{p_2}\)) et la valeur de \(n\), mais il est inutile de remplacer \(n\) par sa valeur avant d'avoir terminé le développement, cela compliquerait inutilement les écritures.
On calcule le produit du dl de \(fg\) tel qu'il est écrit en $(*)$ par le dl de \(h\) : il s'agit d'un produit de deux termes, donc tu es censé y arriver.
Quand on a le résultat, on remplace \(n\) par sa valeur pour lire l'ordre du développement obtenu.
En utilisant votre aide précédente, et en développant de la même façon que vous avez fait, je trouve $n=\min \{n_1+p_2,n_2+p_1\}$ est-ce correct ? J'ai incorporé le $x^{p_1+p_2}$ ...
Sinon j'ai $n=\min \{n_1-p_1,n_2-p_2\}$ pour coller à votre expression.
Les formules avec $\min$, tu penses les apprendre par cœur ? Ne vois-tu pas que c'est plus embrouillant qu'autre chose ?
Si je te donne $f(x) = x^2 + 2x^3 - 7x^5 + o(x^5)$ et $g(x) = 12x^3 + 6x^4 + x^5 + x^6 + o(x^7)$, peux-tu donner l'ordre du développement limité que tu obtiens en développant le produit $fg$ ? Bien sûr, il s'agit de le faire sans développer tout le produit.
Votre exercice je peux le faire sans souci mais je n'arrive pas l'exercice avec les 3 fonctions.
En effet, les termes de la forme $o(x^k)$ et $\alpha x^k$ où $k>8$ sont des $o(x^8)$.
Dans la fonction $h$, le terme de plus bas degré est $c_{p_3} x^{p_3}$ donc si le terme limitant du prduit $fg$ est $o(x^{p_1+n_2})$ j'obtient comme terme limitant de $fgh$ : $o(x^{p_1+n_2+p_3})$.
Si le terme limitant du prduit $fg$ est $o(x^{p_2+n_1})$ j'obtient comme terme limitant de $fgh$ : $o(x^{p_2+n_1+p_3})$.
Mais du coup je trouve que 2 termes limitants pour le produit avec $h$... Le corrigé en donne 3 je ne comprends pas où se situe mon erreur.
La solution d'un exercice est rarement unique.