Développement asymptotique

Plus rigolo : trouver la somme : $\displaystyle \underset{n=0}{\overset{+\infty }{\sum }}\frac{1}{x_{n}^{2}}$.

Déjà $x_{n}=\pi n+\frac{\pi }{2}-\frac{(-1)^{n}}{\pi n}+o(\frac{1}{n})$.
À suivre...

supp

Bonjour
Je ne vois pas bien pourquoi $\sum \dfrac{1}{x_k^2} =1$

En effet on voit que $1/(x_k^2) \leq 1/(n^2 \pi ^2)$ en sommant on majore $1/6.$

@ side
Voici comment se présente à mon avis la méthode « à la Euler », car je n'ai pas le texte d'Euler soi-même.

$\bullet$ Soit un polynôme $F(z)=a_{0}+a_{1}z+a_{2}z^{2}+...$, avec $a_{0}\neq 0$, dont les racines complexes sont $\xi _{1},\xi _{2},\xi _{3},...$ (délibérément, je ne précise pas plus).
Alors : $ \displaystyle \underset{k}{\sum }\frac{1}{\xi _{k}}=-\frac{a_{1}}{a_{0}}$ et $\displaystyle \underset{k<h}{\sum }\frac{1}{\xi _{k}\xi _{h}}=\frac{a_{2}}{a_{0}}$, d'où : $\displaystyle \underset{k}{\sum }\frac{1}{\xi _{k}^{2}}=(\frac{a_{1}}{a_{0}})^{2}-2\frac{a_{2}}{a_{0}}$.

$\bullet$ L'idée est d'étendre ceci à une série entière.
Pour le problème de Bâle, on a : $\displaystyle \frac{\sin z}{z}=1-\frac{z^{2}}{6}+\frac{z^{4}}{120}-...=F(z^{2})$, avec : $\displaystyle F(z)=1-\frac{z}{6}+\frac{z^{2}}{120}-...$.
$~~~~~~~~$Les racines de $F(z)$ sont : $\displaystyle \xi _{k}=k^{2}\pi ^{2},k\in \mathbb{N}^{\ast }$.
En appliquant les formules précédentes, que ce soit autorisé ou non, il vient :
$\displaystyle \underset{k\geq 1}{\sum }\frac{1}{k^{2}\pi ^{2}}=\underset{k\geq 1}{\sum }\frac{1}{\xi _{k}}=\frac{1}{6}$,
$\displaystyle \underset{k\geq 1}{\sum }\frac{1}{k^{4}\pi ^{4}}=\underset{k\geq 1}{\sum }\frac{1}{\xi _{k}^{2}}=(\frac{1}{6})^{2}-2\times \frac{1}{120}=\frac{1}{90}$.
Ce qui est correct.

$\bullet$ Essayons d'appliquer cette méthode aux solutions de l'équation $\displaystyle \tan x=x$.
Pour chaque $\displaystyle k\in \mathbb{N}^{\ast }$ cette équation a une seule solution réelle $\displaystyle \alpha _{k}\in ]-\frac{\pi }{2}+k\pi ,\frac{\pi }{2}+k\pi \lbrack $, et elle n'a aucune solution complexe non réelle.
On a : $\displaystyle \frac{3}{z^{2}}(\frac{\sin z}{z}-\cos z)=1-\frac{z^{2}}{10}+\frac{z^{4}}{280}+...=F(z^{2})$, avec : $\displaystyle F(z)=1-\frac{z}{10}+\frac{z^{2}}{280}+...$
$~~~~~~~~$Les racines de $F(z)$ sont : $\xi _{k}=\alpha _{k}^{2},k\in \mathbb{N}^{\ast }$.
En appliquant les formules précédentes, que ce soit autorisé ou non, il vient :
$\displaystyle \underset{k\geq 1}{\sum }\frac{1}{\alpha _{k}^{2}}=\underset{k\geq 1}{\sum }\frac{1}{\xi _{k}}=\frac{1}{10}$,
$\displaystyle \underset{k\geq 1}{\sum }\frac{1}{\alpha _{k}^{4}}=\underset{k\geq 1}{\sum }\frac{1}{\xi _{k}^{2}}=(\frac{1}{10})^{2}-2\times \frac{1}{280}=\frac{1}{350}$.
Ça me semble encore correct.

$\bullet$ Maintenant, il faudrait « rigoriser » tout ça, et voir comment l'appliquer à l'équation $x \cos x=1$, si c'est possible.

Bonne journée.
Fr. Ch.
12/12/2019