Recherche d'un contre-exemple

Twisted_Fate
Twisted_Fate
dans Analyse
Salut, je cherche un exemple de la réciproque demandée.
En Passant, est-ce que je peux raisonner comme ça à la première question ?

Soit $ f_n$ une suite de fonctions continues uniformément convergente vers $f$, alors $f$ est continue.

Soit $ x_n $ une suite d'éléments de $X$ convergente dans $X$ vers $x$. et $f$ continue, alors $ f(x_n) $ converge vers $f(x)$.
Soit $ \varepsilon > 0,$ à partir d'un certain rang $N$ on aura : $ \Vert f_n - f \Vert_{\infty} \leq \varepsilon $ et $ \vert f(x_n) - f(x)\vert < \varepsilon. $
D'où $ \vert f_n(x_n) -f(x) \vert< \vert f_n(x_n) - f(x_n) \vert+ \vert f(x_n) - f(x)\vert <\Vert f_n - f \Vert_{\infty} + \vert f(x_n) - f(x) \vert < 2 \varepsilon $93686

Réponses

  • Poirot
    Poirot
    Ta démonstration est correcte.

    Il faudrait détailler ce qui est attendu pour la réciproque (pour toute suite $(f_n)_n$, pour toute suite $(x_n)_n$ ?).
  • gebrane
    gebrane
    On peut écrire ta question sous forme d'une équivalence

    On considère une suite de fonctions $(f_n)$ continues entre deux espaces métrique E et F . Les affirmations suivantes sont équivalentes
    $(a)$$ f_n \rightarrow f$ uniformément sur tout compact $K \subset E$
    $(b)$ Pour toute suite $x_n$, $(x_n \rightarrow x \implies \lim_{n \rightarrow +\infty} f_n(x_n) = f(x))$


    J’espère que je n'ai pas dit des conneries

    Si on remplace $(a)$ par $(a')$:
    $(a')$$ f_n \rightarrow f$ uniformément sur $E$

    , le sens $(b)\implies (a')$ est faux

    Je ne sais pas si c'est cette réciproque dont tu veux chercher un contre
    Le 😄 Farceur


  • side
    side
    supp
  • Chaurien
    Chaurien
    Cette fois c'est dans l'énoncé cité qu'il y a une faute d'orthographe, et une belle.
    Il faut écrire : « ... pour toute suite $(x_n)$ dans $X$ convergeant vers $x \in X$ ...».
    https://la-conjugaison.nouvelobs.com/du/verbe/converger.php
    Ce n'est pourtant pas très compliqué, le participe présent, pour des mathématiciens réputés intelligents. Décidément, ça ne s'arrange pas... Pauvres de nous !
    Bonne soirée quand même.
    Fr. Ch.
  • gebrane
    gebrane
    Bonsoir side
    Je ne suis pas d'accord avec ton contre , car j'ai une "preuve" que (b) implique que $f_n \to f$ uniformément lorsque E est un compact

    Si E est compact . on veut prouver que pour tout $\epsilon > 0$,il existe $n_0$ tel que $n>n_0 \implies d(f_n(x), f(x)) < \epsilon$, pour tout $x \in E$.

    Tout d'abord l'hypothèse (b) entraine la continuité de f !
    Par l'absurde: pour tout $n$ , il exsite $x_n\in E $ tel que $d(f_n(x), f(x)) \ge \epsilon$. Puisque $E$ est compact , il existe une sous-suite $\{x_{n_k}\}$ convergeant vers un $x\in E$. La condition (b) implique que $\{f_{n_k}(x_{n_k})\}$ converge vers $f(x)$. Par continuité de $f$ implique que $\{f(x_{n_k})(x)\}$ converge aussi vers $f(x)$ . Mais $d(f_{n_k}(x_{n_k}), f(x_{n_k}))\ge\epsilon$ pour tout $n_k$, contradiction.
    Explique moi mon erreur
    Le 😄 Farceur


  • side
    side
    supp
  • gebrane
    gebrane
    Side j'ai bien dit que l'hypothèse (b) entraîne que f est continue et la preuve n'est pas trop difficile
    Ce que je ne comprends pas c'est que tu as donné un contre dans un compact à savoir ton $I$.
    Le 😄 Farceur


  • side
    side
    supp
  • gebrane
    gebrane
    Je dois changer mes lunettes j'ai cru voir $I=[0;\pi/2]$
    Merci side
    Le 😄 Farceur


  • gebrane
    gebrane
    Un contre exemple simple dans X=R, f_n (x)=x+x/n et f(x)=x
    Le 😄 Farceur


  • Poirot
    Poirot
    @gebrane : tu es à court d'argent ? :-D
  • gebrane
    gebrane
    Ouiiiiiiiiiiiii Poirot :-D
    Le 😄 Farceur


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