Soient $a \in [0;\pi/2] $ et $n$ un entier naturel. \[
\lim_{n \rightarrow +\infty} \big(2^n \sin\frac{a}{2^n}-2^n \tan\frac{a}{2^n}\big).
\] S'il vous plaît pouvez-vous m'aider à calculer cette limite ?
Je réfléchis sur ça depuis hier.
Si $a$ est nul, c'est facile. Désormais, on suppose que $a$ n'est pas nul.
Ce que l'on connaît, c'est $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}$ et $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\tan x}{x}$. Saurais-tu faire apparaître des formes de ce genre dans ta situation ?
Réponses
Ce que l'on connaît, c'est $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}$ et $\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\tan x}{x}$. Saurais-tu faire apparaître des formes de ce genre dans ta situation ?
utiliser les limites suggérées par Math Coss me semble insuffisant pour lever la forme indéterminée du type oox0
il convient de faire un développement asymptotique du sinus et de la tangente soit :
limite pour n infini de $2^n[\frac{a}{2^n} - \frac{1}{3!}(\frac{a}{2^n})^3- \frac{a}{2^n}+\frac{1}{3}(\frac{a}{2^n})^3]$
soit la limite de $\frac{a^3}{6.2^{2n}}$ (équivalent asymptotique) c'est-à-dire 0
cordialement
Sauf erreur.