Dérivée partielle d'ordre 2
Bonjour,
Soit $f(x, y) = \frac{xy(x^2 - y^2)}{x^2 + y^2}$ pour tout $(x, y) \neq (0, 0)$ et $0$ pour $(x, y) = (0, 0)$. On aimerait démontrer que $\frac{\partial^2f}{\partial_x \partial_y}(0,0) \neq \frac{\partial^2f}{\partial_y \partial_x}(0,0)$.
J'avais argumenté comme suit:
Pour tout $x$ nous avons que $f(x, 0) = 0$ et pour tout $y$ que $f(0, y) = 0$. Pour moi cela impliquait que $\frac{\partial f}{\partial_x}(0,0) = \frac{\partial f}{\partial_y}(0,0) = 0$ et donc que n'importe quelle dérivée partielle d'ordre 2 en $(0,0)$ était également nulle. Il y donc évidemment un problème avec ce raisonnement mais je n'arrive pas à mettre la main dessus.
Merci par avance pour votre aide !
Bonne journée.
Soit $f(x, y) = \frac{xy(x^2 - y^2)}{x^2 + y^2}$ pour tout $(x, y) \neq (0, 0)$ et $0$ pour $(x, y) = (0, 0)$. On aimerait démontrer que $\frac{\partial^2f}{\partial_x \partial_y}(0,0) \neq \frac{\partial^2f}{\partial_y \partial_x}(0,0)$.
J'avais argumenté comme suit:
Pour tout $x$ nous avons que $f(x, 0) = 0$ et pour tout $y$ que $f(0, y) = 0$. Pour moi cela impliquait que $\frac{\partial f}{\partial_x}(0,0) = \frac{\partial f}{\partial_y}(0,0) = 0$ et donc que n'importe quelle dérivée partielle d'ordre 2 en $(0,0)$ était également nulle. Il y donc évidemment un problème avec ce raisonnement mais je n'arrive pas à mettre la main dessus.
Merci par avance pour votre aide !
Bonne journée.
Réponses
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Bonjour,
Les seules valeurs de \(\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)\) de \(\frac{\partial f}{\partial y}(0,0)\) ne permet pas de calculer \(\frac{\partial^2f}{\partial x \partial y}(0,0)\)… pas plus quee, pour une fonction \(g\) d'une seule variable, on ne peut pas déduire \(g''(0)\) du seul \(g'(0)\). -
En effet, il faut regarder du côté de la dérivée de $y \mapsto \frac{df}{dx}(0,y)$, convenablement prolongé en 0....
A+
F. -
Question déjà posée et réponses données il y a 6 semaines...
-
D'accord.
On obtient $\frac{\partial f}{\partial x} (0, y) = -y$ ainsi que $\frac{\partial f}{\partial y} (x, 0) = x$. Ce qui implique bien évidemment une dérivée d'ordre deux de -1 et 1 respectivement.
Mais je ne comprends pas comment cela est possible.
On voit bien que sitôt qu'au moins une des deux valeurs $x$ ou $y$ vaut $0$, $f(x, y) = 0$. Comment peut-on obtenir une dérivée différente de $0$ en $(0,0)$ si peu importe la direction (parallèle à un des axes) que nous empruntons la valeur de $f(x, y)$ reste nulle ? -
Bah justement, une dérivée partielle croisée ne prend pas en compte que les changements selon un axe fixé !
-
Je ne savais pas.
Mais ça veut dire qu'on a $\frac{\partial f}{\partial x} (0, 0) = 0$ mais $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(0,0) = 1$ ? -
Oui. Une fonction peut s'annuler en $0$ sans que sa dérivée en $0$ soit nulle. :-D
-
Ben ... c'est classique ! Et même avec une seule variable :
Pour $f(x)=-\frac 1 2 x^2$, tu as bien $\frac{df}{dx}(0)=0$ et $\frac{d^2f}{dx^2}(0)=-1$
Cordialement. -
Mais oui.
La brave fonction polynomiale \(f: (x,y)\mapsto xy\) satisfait elle aussi \(\frac{\partial f}{\partial x} (0, 0) = 0\) et \(\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(0,0) = 1\) -
Merci à vous tous, je crois que je commence à comprendre.
Juste un dernier détail : sans plus d'explications $\frac{\partial f}{\partial x} (0, y) = -y$ et $\frac{\partial f}{\partial y} (x, 0) = x$ ne sont valables que pour $(x, y) \neq (0, 0)$.
Du coup, pour confirmer cela pour tout $(x, y)$ il faut abolument que $\frac{\partial f}{\partial x} (0, 0) = \frac{\partial f}{\partial y} (0, 0) = 0$.
Et pour ce faire, j'ai le droit de reprendre l'argumentation que j'utilise au début en disant que $f(x, 0) = f(0, y) = 0$ pour tout $x, y$ et donc évaluer $\frac{\partial f}{\partial x} (0, 0)$ et $\frac{\partial f}{\partial y} (0, 0)$ revient à évaluer une fonction constante ? Ou pas ? -
Oui, tes formules donnant $\frac{\partial f}{\partial x} $ et $\frac{\partial f}{\partial y} $ ne sont, comme tu le dis, valables que pour $(x,y) \neq (0,0)$.
Pour déterminer $\frac{\partial f}{\partial} (0,0)$, tu reviens à la définition du taux de variation
$$
\frac{f (x,0)-f(0,0)}{x}
$$
qui tend trivialement vers $0$ lorsque $x \to 0$.
De même pour étudier $\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x} (0,0)$, tu considères le taux de variations:
$$
\frac{\frac{\partial f}{\partial x}(0,y)-\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)}{y}
$$
qui tend vers 1 (ou -1, je n'ai plus l'énoncé sous les yeux) et tu en déduis la valeur de $\frac{\partial^2 f}{\partial y\partial x} (0,0)$
A+
F. -
Drôle de notation du questionneur, avec ces $x$ et $y$ en indice...
À part ça, et exo n'est pas vraiment un perdreau de l'année. On le trouve dans : G. Lefort, Algèbre et analyse, exercices, illustration du cours de mathématiques générales, Dunod, Paris, 1961, n° 601, p. 373, la belle grande collection reliée bleu foncé. Le « cours de mathématiques générales » c'était le vénérable Pisot-Zamansky. Comme le temps passe...
Bonne soirée.
Fr. Ch.
«»«»«»«»«»«»«»«»«»«»«»«»«»«»«» -
Oui, je vous prie de m'excuser.
J'ai confondu $\partial_x f$ et $\frac{\partial f}{\partial x}$.
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Bonjour!
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