Convergence uniforme de suites de fonctions
Bonjour
Une question me turlupine vraiment.
On connaît bien la propriété : une suite convergente est bornée.
Peut-on utiliser cette propriété pour les suites de fonctions qui convergent uniformément ?
À savoir $(f_n)$ cvu vers $f$ donc la suite $(f_n)$ est bornée pour la norme infinie ?
Merci à ceux et celle qui peuvent m'éclairer.
Une question me turlupine vraiment.
On connaît bien la propriété : une suite convergente est bornée.
Peut-on utiliser cette propriété pour les suites de fonctions qui convergent uniformément ?
À savoir $(f_n)$ cvu vers $f$ donc la suite $(f_n)$ est bornée pour la norme infinie ?
Merci à ceux et celle qui peuvent m'éclairer.
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Réponses
La « propriété » que tu cites est un théorème valide dans les espaces vectoriels normés.
Dans quel espace la suite de fonctions uniformément convergente que tu envisages vit-elle ?
Ca dépend de l'intervalle où ça se passe. La suite définie sur $\R$ par $f_n(x)=x+1/n$ converge uniformément vers $f(x)=x$, mais aucune fonction $f_n$ n'est bornée.
Je n arrive pas à comprendre la subtilité ... Je suis bien dans un evn.
L'exemple de Magnolia ne correspond pas à une convergence de suite dans un espace vectoriel normé.
J'avance mais je n'ai toujours pas compris.
Exemple de magnolia (fn) cvu vers f sur R : on a bien (fn -f) = (1/n) tend vers 0 pour la norme infinie. Pour autant la suite (fin) n est pas bornée pour la norme infinie
Et c'est là que je ne comprends plus ...
Pour moi (fn -f) tend vers 0 pour une norme implique (fn) tend vers f pour cette même norme donc la suite (fin) cv pour cette norme donc elle est bornée
Par analogie avec une suite réelle ...
Alors bien sûr dans l'exemple norme infinie de (fn) n'existe pas. Mais je ne comprends pas où je me trompe.
[Ne pas négliger la touche apostrophe. AD]
Maintenant si tu as une suite de fonction $f_n$ qui converge uniformément [vers] $f$, autrement dit la la suite $(f_n -f)$ est bornée et $u_n=Norme_{\infty} (f_n -f)$ tend vers 0
Alors dans ce cas tu ne peux pas appliquer l’inégalité triangulaire avec la norme infinie sauf si les normes infinie de $f_n$ et $f$ existent.
Dans un evn E on a une suite de E et l dans E, un cv vers l est équivalent à la suite ||un -l|| cv vers 0
Donc pour pouvoir appliquer ça à des suites de fonctions il faudrait que fn et f vivent dans le même evn notamment où la norme infinie est définie.
C'est bien cela ?
Il faudrait donc que fn et f vivent dans le même espace de fonction dans lequel la norme infini est définie ce qui n est pas le cas pour l exemple de magnolia
C est bien ça ?
De ce fait si je me place dans l evn des fonctions en escalier sur [ab] muni de la norme infinie (qui est définie vue que les fonctions sur cet espace sont bornées)
Si Je prends une suite de fonctions(fn) je peux dire que cette suite de fonctions est bornée pour la norme infinie : il existe M dans R tel que pour tout entier n ||fn||infinie <M (ce qui impliquera que pour tout x dans [ab] la suite (fn(x)) est bornée mais on le savait déjà )
ça prouve que tu n'as pas compris
Désolée mais je ne maîtrise pas la chose.
J'ai réfléchi ...
Si la suite (fn) cv alors elle est bornée pour ma norme infinie.
Si elle ne cv pas je peux dire que pour tout n la fonction fn(x) est bornée par un certain Mn (qui dépend de n) car fn est dans l'espace des fonctions en escalier qui sont bornées mais je ne peux pas dire que la suite fn est bornée : il faudrait que la suite de mes Mn soit bornée.
Je me trompe encore ?
Il ne faut pas confondre "suite de fonctions bornées" et "suite bornée de fonctions" ;-)
Merci à vous qui m'avez aidé à y voir plus clair.